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第四章数学建模与建模案例第一节数学建模概论一、数学建模的过程数学建模，专家给它下的定义是：“通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，并应用某些‘规律’建立起变量、参数间的确定的数学问题（也可称为一个数学模型），求解该数学问题，解释验证所得到的解，从而确定能否用于解决问题多次循环、不断深化的过程.”简而言之，就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程.数学建模过程概括的说，主要由三部分组成：1、适当的数学语言和方法，对实际问题的内在规律进行研究，分清问题的主要因素和次要因素，恰当地抛弃次要因素，提出合理的假设.并用数字、图表或者公式、符号表示出来；2、用各种数学和计算机手段求解模型；３、对模型的求解结果进行检验.这包括：从实际角度出发研究其可行性以及合理性；放宽建模的约束条件，研究其应用的广泛性；波动参数，观察模型的稳定性.等等.面对这样一个实际问题，我们首先是对问题进行重述与分析.数学建模是在已有的已知条件及知识体系基础上的再创造过程.要解决一个问题，就要了解实际问题的背景知识，明确所解决问题的目的要求，合理收集有关数据，查阅前人的相关工作.然后来循求解决问题的方法.1、进行合理假设实际问题众多因素之间有主次之分.如果面面俱到，无所不包，模型就会非常复杂，不易求解.因此可通过合理假设将问题理想化、简单化、清晰化，抓住主要因素，暂不考虑次要因素，在相对简单的情况下，理清变量之间的关系，以便于进行数学描述.合理假设包括简化问题假设及对所研究对象进行近似，使之满足建模所用数学方法必须的前提条件.应注意的是对于一个假设，最重要的是是否符合实际情况.２、符号的约定要别人看懂你的论文，对论文中所用到的变量符号要给予说明（此文中略）.3、建立数学模型整个数学建模中最关键的部分，是从实际到数学的过程.分析问题，采用适当的数学方法进行模型设计.同一个问题所采用解题的数学方法也不是唯一的，因此其数学模型的形式也不是唯一的.4、模型求解及结果分析不同的模型要用到不同的数学工具求解.我们可以编写计算机程序或运用计算机软件对模型进行求解.数学建模的培训和实际参赛，使大学生运用计算机语言编程和使用数学软件得到一个非常好的实践机会.对所求结果是否具有实际意义或满足实际要求，要进行细致的分析.验证结果是切实可行的，并且是最优解.5、模型的验证111一个模型的验证包括稳定性和敏感性分析,即一个好的模型，其结果不应该由于原始数据或参数的微小波动而有很大的变化；统计性检验和误差分析，即模型的求解不会因算法，初值步长的不同而有大的差异；修改假设条件后模型的适用性分析，实际可行性检验等.6、模型的改进、推广及优缺点分析在建立数学模型时基于一些特定的条件及忽略一些次要因素以简化问题.我们在模型的改进中可根据实际情况放宽假设约束，来考虑模型的适应性变动.另外探讨模型在其他领域的实际问题中是否有使用价值.对模型及其求解从创造性、精确性、适用广度、计算时间特性等方面进行评价，以表明对问题的本质有清醒的认识.以上是我们对数学建模的过程进行一个粗略的介绍.建立数学模型来解决实际问题，是各行各业大量需要的.其过程也是创作科研论文的过程.大学生们走上工作岗位后，面对的类似问题会有很多.具备运用和驾驮所学知识对实际问题建模求解的能力，是大学生自我设计的目标之一.同学们积极选修数学建模课程，关注和参与全国大学生数学建模竞赛，将自己置身于艰苦而又是愉快的科学研究的磨炼之中，从而体会到在追逐一个事物的过程中所获得的乐趣远比事物本身的乐趣大的多.二、全国大学生数学建模竞赛大学生数学建模竞赛起源于美国，到目前为止，已经历时13年.我国大学生数学建模竞赛起步也较早.1989年，我国就有一些高等院校的大学生参加美国大学生数学建模竞赛.1994年，全国大学生数学建模竞赛由国家教委与中国工业与应用数学学会共同举办，被国家教委规定为全国大学生四大竞赛之一，每年举行一次.随着参赛院校和队数的逐年增加，全国大学生数学建模竞赛的影响越来越大，目前已成为全国高校中规模最大的校外科技活动.当今世界经济发展迅速、新问题、新科技不断涌现，人们每天都面临新的状况.培养大学生具有洞察力、想象力、创造力，使大学生在走出校门从事实际工作时，善于运用所学的知识及数学的思维方法来分析和解决实际问题，从而取得经济效益和社会效益,这是大学教育改革的目的之一.大学生数学建模竞赛正日益成为达到这种目的的一个有效的途径，它最开始是由美国举行的国内赛，目的是鼓励大学生运用所学的数学以及其他各方面的知识去参与解决实际问题的全过程，以促进应用型人才的培养.经历了培训参赛的过程后，大学生们收获了许多书本上学不到的东西.越来越多的大学生想获得参赛的机会，以充实、锻炼自己的科学研究能力.从1992年开始由中国工业与应用数学学会举办我国自己的全国大学生数学建模竞赛，创造机会让大学生们去直接面对多种多样的实际问题，引导他们解放思想闯入那些未知的全新领域.数学建模竞赛，是一个非常有意义的活动.很多人都知道，数学是非常重要的.但是我们没有找到一个合适的方法.使学生能够认识到数学的重要性.建模竞赛是一个很好的方法，使得更多的学生，包括他们有关的朋友，能够认识到数学的真正用处.因为，数学对于学生的培养，不只是数学定理、数学公式，这其实是次要的.更重要的是培养同学一个正确的思想方法，而且依据自己所学到的知识，能够不断创新，不断地找出新的途径.这不是在课堂里死啃几个定理就能够解决的.我们用什么办法才能让更多的人，更多的学生认识到这个事情呢？我觉得，建模竞赛是一个很好的方法.1121、竞赛的形式：比赛是真正的团体赛，每个参赛队由三人组成，在规定的三天时间内分工合作，共同完成一份答卷.每个参赛队有一个指导教师，在比赛前负责培训并接受考题，将考题在规定的时间发给学生，然后由学生自行做题，教师不得参赛.每次的考题只有两个题，都是来自实际的问题或有强烈实际背景的问题，没有固定的范围，可能涉及各个非常不同的学科、领域.每个参赛队从这两个考题中任意选做一个题.参赛队的三名队员可以相互讨论，可以查阅资料，可以使用计算机和计算机软件.一言以蔽之：可以使用任何非生命的资源，但不允许三人以外的其他人（包括指导教师）帮助做题.参赛队的答卷应是，一篇完整的论文，包括对所选问题的重新阐述、对问题的条件和假设的阐明和必要补充甚至修改、对为什么要用所述模型的分析、模型的设计、对模型的测试和检验的讨论、模型的优缺点等，还要有一个不超过一页的论文内容的摘要.2、竞赛的结果：竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准，专家们在评卷时并不对论文给出分数，也不采用“通过”、“失败”这种记分，而只是将论文分成一些等级：Outstanding（中国人称它为特等奖）、Meritorious（一等奖）、HonorableMention（二等奖）、SuccessfulParticipation（成功参赛奖）.评卷的标准并不是看答案对不对，而主要看论文的思想方法好不好，以及论述是否清晰.Outstanding的论文作为优秀论文在专业杂志上发表.而所有参赛的队员和教练都能得到一张奖状.3、竞赛的特点a、广泛性和团队性全国大学生数学建模竞赛是面向全国大学生的群众性科技活动.参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算机方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）.竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实现问题，有较大的灵活性供参赛者发挥其创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准.数学建模竞赛的题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化加工而成，对数学知识要求不深，一般没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神.由于竞赛是由三名大学生组成一队，在三天时间内分工合作，共同完成一篇论文，因而也培养了学生的合作精神.加之竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准，因此，这项活动的开展有利于对学生知识、能力和素质的全面培养，既丰富、活跃了广大同学的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创造了条件.b、竞赛的开放性和答案的非唯一性数学建模竞赛是没有严格意义下的赛场，也没有唯一不变的解答，同一个考题，可以有不同的意见，有不同的答案，只要言之有理.爱因斯坦曾经说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识的源泉.同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不一样，却同样都优秀；优秀论文甚至被专家的评阅意见指出一大堆毛病，却仍不失为优秀.在这里，正确和错误是相对的，优秀和不优秀也是相对的.这在纯数学竞赛中是不可思议的.但既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就一切都以解决实际问题的过程为准.解决实际问题需要113查资料，需要使用计算机，需要课题组的人相互交流和讨论，因此数学建模竞赛也就允许使用这些“非生命的资源”.同样，实际问题的解决，常常没有绝对的正确与错误，也没有绝对的优秀，数学建模竞赛也就这样，但这并不是说数学建模竞赛就没有是非和好坏的标准.论文中各种不同意见、不同答案可以并存，只要能够言之成理.但如果你像解答纯数学题那样去做，只有数学公式和计算，而不讲清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算结果再接受实际检验，即使答案正确，论文也很难评上好的等级.这是因为，它不是数学竞赛，而是数学建模竞赛，它看重的是三个步骤：（1）、建立模型：实际问题→数学问题；（2）、数学解答：数学问题→数学解；（3）、模型检验：数学解→实际问题的解决.如果你只重视中间一个步骤（一般初参赛的时候容易犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予重视，那就违背了数学建模竞赛的宗旨，当然就不能得到好的结果了.为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建立数学模型，而不只是比赛解答数学模型.—般也把它叫做数学模型赛，这也没有什么不对.但“模型”是“建模”的结果，而“建模”是建立模型的过程.竞赛的宗旨更强调的是建立数学模型这个过程，认为过程比结果更重要.所以，在竞赛中允许将未能最后完成的建模过程、未能最后实现的想法写成论文，参加评卷.虽然你的模型还没能最后建立起来，但只要想法有价值，己经开始了的建模过程有合理性，就仍然是有可取之处的论文.这充分体现了竞赛对建模过程的重视.从这点上说，把它称为“数学建模竞赛”比“数学模型竞赛”更贴切些.何况，它的英文名称MCM中的最后一个M是Modeling而不是Model.如果用Model，是名词，是指建立起来的模型.而Modeling是由动词Model变成的动名词，是指建立模型的过程，因此翻译成建模也更恰当些.（注：关于“模型”与“建模”的区别，这里采用的是北京理工大学叶其孝教授的观点.）这种竞赛对参加者来说，是一种综合的训练，在相当程度上模拟了大学生毕业以后的工作环境.参赛者不要求预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高样的数学课程；更主要的是要靠参赛者自己动脑子，自己查找文献资料，同队成员讨论研究，齐心协力完成答卷.因此，它对学生的能力培养是多方面的.叶教授将之归纳为：应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；“双向翻译”（即用数学语言表达实际问题，用普通人能理解的语言表达数学的结果）的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；应变能力（即独立查找文献，消化和应用的能力）；组织、协调、管理特别是及时妥协的能力；交流表达的能力；写作的能力；创造性、想象力、联想力和洞察力.它还可以培养学生坚强的意志，培养自律、“慎独”的优秀品质，培养正确的数学观.三、数学建模能力培养数学模型是联系实际问题与数学的桥梁，是各种应用问题严密化、精确化、科学化的途径，是发现问题，解决问题和探索新真理的工具.数学模型具有解释、判断、预测等重要功能，它在各个领域的应用会越来越广泛.其主要原因是：（1）社会生活的各个方面正在日益数量化，人们对各种问题的要求愈来愈精确；（2）计算机的发展为精确化提供了条件；（3）很多无法实验或费用很大的实验问题