复变函数与积分变换讲义 详细

复变函数与积分变换电子课件目录第一讲复数的代数运算及几何表示第二讲复数的乘幂与方根区域复变函数第三讲复变函数及极限与连续第四讲解析函数的概念及充要条件第五讲初等函数第六讲复积分的概念柯西古萨基本定理第七讲复合闭路定理原函数与不定积分第八讲柯西积分公式解析函数的高阶导数解析函数和调和函数的关系第九讲复数项级数幂级数第十讲泰勒级数第十一讲洛朗级数第十二讲孤立奇点第十三讲留数第十四讲留数在定积分计算上的应用第十五讲Fourier积分Fourier变换第十六讲Fourier变换的性质应用卷积第十七讲Laplace变换的概念性质第十八讲Laplace变换的逆变换卷积前言在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有所好转。特别是由于L.Euler的研究结果，1040xx515515与复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术cossinieiaib中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。第一讲复数的代数运算及几何表示教学重点：1.复习复数的基本概念2.计算有关复数的典型题教学难点：复球面突破方法：精讲多练1.概念一对有序实数（）构成一个复数，记为.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),,称为Z的共轭复数。两个复数相等他们的实部和虚部都相等特别地，与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.2.四则运算设1i222111,iyxziyxz§1.1复数及其代数运算复数运算满足交换律,结合律和分配律:z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z33.共轭复数性质:.ziz,z(zzziv;zzzziiizzii;zzzz,zzzz,zzzzi)Im(2)Re2))][Im()][Re();))22212121212121)0()()();()(22221211222212121212112212121212121zxxyxyxixxyyxxzzyxyxiyyxxzzyyixxzz1.点表示iyxz复数yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴§1.2复数的几何表示(,)XOYzxy平面上的点0xyxyz=x+iyz|||||,||||||,||||,|||22zzzzyxzzyzx2向量表示----复数z的辐角(argument)记作Argz=.任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足p0p的0称为Argz的主值,记作0=argz.则Argz=0+2kp=argz+2kp(k为任意整数)复数z=x+iy矢径z22zzrxy----复数z的模轴正向的夹角弧度与xzarctan22yxpp其中在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanargpp当z=0时,|z|=0,而辐角不确定.argz可由下列关系确定:说明：当z在第二象限时，arg022zpppptan()tan()tanyxpparctanyxparctan.yxp3.指数形式与三角形式),(zArgzrirez利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcos,y=rsin,可以将z表示成三角表示式:利用欧拉公式ei=cos+isin得指数表示式:例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1)122;2)sincos.55zizipp[解]1)||1244.rzz在第三象限,因此235arctanarctan.3612ppp因此56554cos()sin()466izieppp)sin(cosirz23.izep3sincoscos,525103cossinsin.52510pppppppp因此31033cossin1010izieppp练习：写出的辐角和它的指数形式。132iz[解]322argarctanarctan3,1233zppppp2arg22,,3ArgzzkkkZppp1,rz2)显然,r=|z|=1,又4.复数形式的代数方程与平面几何图形很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例2将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.[解]通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为121121(),()().xxtxxtyytyy因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2z1).(t+)由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2z1).(0t1)取12t得知线段12zz的中点为122zzz例3求下列方程所表示的曲线:1)||2;2)|2||2|;3)Im()4.ziziziz[解]：1)||2zi设z=x+iy,方程变为2222|(1)|2(1)2,(1)4xyixyxyiOxy2)|2||2|ziz几何上,该方程表示到点2i和2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和2的线段的垂直平分线,方程为yx,也可用代数的方法求出。2iOxy2yx3)Im()4.iz设z=x+iy,那么(1)Im()1izxyiizy可得所求曲线的方程为y3.Oyxy35.复球面N0x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.扩充复数域---引进一个“新”的数∞:扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞.约定:),0(0aa),(0aa)(aa)0(aaa)(aaa