浙江财经大学 微积分 下册总复习

下册总复习考试题型：一、选择题（2分*5=10分）二、填空题（2分*10=20分）三、求积分（6分*3=18分）四、求偏导数（6分*4=24分）五、求解微分方程（7分）六、求二重积分（7分）七、综合应用题（7分*2=14分）1、定积分的应用（求面积，求体积）2、最大利润（二元函数求极值）kdx)1Ckx2)xdx)1(11x13)dxxln||xCdxx211)4arctanxC215)1dxxarcsinxC6)cosxdxsin;xC7)sinxdxcos;xC28)cosdxx2secxdxtan;xC29)sindxx2cscxdxcot;xC10)sectanxxdxsec;xC11)csccotxxdxcsc;xC12)xedx;xeC13)xadx;lnxaCa基本积分表：tanln|cos|;cotln|sin|xdxxCxdxxCsecln|sectan|cscln|csccot|xdxxxCxdxxxC补充公式：三、求积分（6分*3=18分）'f[(x)]()f[(x)]()[(x]xdxdxFC1、第一换元法：凑微分（解决复合函数求积分）凑内层函数的导数复合函数凑内层函数的导数()(),已知fxdxFxC51)(21)xdx5'121(12()2)xxdx5()(2121)12dxx6(21)12xC153dxx'1(55)1353xdxx1()535315dxx1ln|53|5xC32xxedx3(ln)xdxx2.第二换元法：变量代换22(2)ax;sintax可令22(3)ax可令;tantax22(4)xa可令.sectax(1)axb可令=axbt5112)11dxx221;1;(1)2txxtdxdttdt解：令x=1,t=0;x=5,t=2时时202=1tdtt原式20=2111tdtt201=2(1)1dtt20=2(t-ln|1+t|)=2(2-ln3)解：1'2012).1dxx令tan,xt0x0,t1x,4t2sec,dxtdt原式40sectdt40(ln|sectan|)ttln(21)'.uvdxudvuvvdu3.分部积分：1)cosxxdx2)sinxxdx3).xxedx1)lnxxdx2)sinxarcxdx3)arctan.xxdx10(1)xxedx1'0xxdxe10xxde()()()())(()|babbaavxvduxvxdxuxux1100xxexedx1100xxxee111(2)lnexxdx21'1ln2()1exxdx1121ln2exdx1112211(lnln)2eexxxdx112111(ln)2eexxxdx1212111(ln)22eexxx213144e四、求偏导数或全微分(1)arctan;yzdzx求:''(,)(,)xydzzxydxzxydy''(2)();,yzfxyzx求:z''(3)cos(),,xyxyzexyzz求：''(4)(,),,xyxzfxyzzy求：(5);yxyzxz求:（6）求由方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数。sinzxyzTh1：由方程F(x,y)=0确定的函数y=f(x)称作隐函数，其导函数为：'''()xyFfxF隐函数求导Th2：由方程F(x,y,z)=0确定的函数z=f(x,y)称作隐函数，其导函数为：''''''/,/xxzyyzzFFzFF(1)求由方程所确定的隐函数y=f(x)的导函数。2yexy(2)求由方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数。sinzxyz五、重积分的计算,bxa).()(21xyx（1）X-型区域D=｛(x,y)|｝.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxfcyd,(y)x(y).12D=｛(x,y)|}d(y)c(y)Df(x,y)ddyf(x,y)dx.21（2）Y-型区域所围成的区域是由两条抛物线其中2,,)1(xyxyDdyxD解积分区域下图所示Ddyx210xxxdxydydxyxxx2]32[23dxxx)3232(41047556D解积分区域如下图所示Ddxyx)(22yydxxyxdy22220)(dyxxyxyy220223]23[2023)832419(dyyy2034]81412419[yy613..2,2,)()2(22所围成的闭区域及是由直线其中xyxyyDdxyxDyxoD六、微分方程计算ydyesinxx=0,y=0dx求：的通解和满足的特解。（1）ydysinxdxe解：分离变量yedysinxdx两边同时积分yecosxCycosxeC即是方程的通解x0,y0C0时，ycosxe0方程的特解为即g(y)dyf(x)dx奇次微分方程---变量代换dyyf()dxx形如基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程作变量代换yxu,即,dxduxudxdy代入原式),(ufdxduxuduf(u)u.dxx即可分离变量的方程（2）dyyytandxxx求：的通解。解：作变量代换,xyuyxu,即dyduux,xdxd代入原式duuxutanu,dxdxcotudu;x分离变量dxcotudu;xln|sinu|ln|x|lnC;sinucx变量还原ysincxx一阶线性非齐次微分方程的通解为'yP(x)yQ(x).P(x)dxP(x)dxye[Q(x)edxC]1sinx(3)yyxx求方程的通解。解：,1)(xxP,sin)(xxxQCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx七、综合应用题•1.求在直角坐标系下平面图形的面积。[]baAdx上边界下边界2.旋转体的体积绕轴旋转一周x绕轴旋转一周y[]dcAdy右边界左边界2[-]bxaVdx2外边界内边界.,,)12xVxxyxy体积轴旋转形成的旋转体的此图形绕围成的图形的面积；求由oxyxy2yx120()Axxdx解：12301()236xx12220(())xVxxdx13502()3515xx2[-]bxaVdx2外边界内边界1x2x多元函数取极值的充分条件•定理(充分条件):设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续、存在二阶连续偏导数,且'00(,)0xfxy，'00(,)0yfxy记00(,)xxfxyA，00(,)xyfxyB，00(,)yyfxyC则f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的条件如下：（1）20BAC时具有极值,20BAC（3）20BAC当A0时有极大值,当A0时有极小值;（2）时没有极值;不能确定,还需另作讨论。练习p1p2q2某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，销售价分别为和，销售量分别为和，需求函数分别为和总成本函数为问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使其获得总利润最大？最大总利润是多少？q1C(qq)123540q.p2210005q.p112402练习解答L(p,p)R(p,p)C(p,p)121212pqpq[(qq)]11221235402211220232005121395.pp.ppppL.pL.p12120432001120由(,).80120ppppppAL.;BL;CL.11122204001BAC.20040(,)80120是唯一极大值点也是最大值点；L(80,120)=605Ch6微分方程2340'(1)(y)(y)yxy是几阶的，线性非线性的微分方程。（二阶非线性）2'lnx()yxy求微分方程的通解。（分离变量）22ylnxCCh8二重积分（1）求的偏导数Dzxfx,yd2''xyz,z解：''xyz;z202214D{(x,y)|xy},(2)若Dd3（3）：交换积分顺序210xxdxf(x,y)dy10yydyf(x,y)dxCh7多元函数微分222222,0(,)0,0xyxyxyfxyxy(1)：在(0,0)极限是否存在？函数是否连续？函数是否可导？极限不存在；函数不连续；函数可导。'00000000(,)(,)(,)limlimxxxfxxyfxyzzxyxx定义（分段函数在分界点导数）'00000000(,)(,)(,)limlimyyyfxyyfxyzzxyyy2''(2)();,yxzfzyx求:z2''(3)ln(());,yzfxyzx求:z22''(4)(,,),,xyzfxyxyzz求：(5)(,),xzzfxyxy2求：Ch5定积分(1)()aafxdx()badfxdxdx'(())xaftdt00f(x)'()()()xaftdtfxaxb2'(2)(cos)xattdt2xcosx'()''()()(())()(())()uxvxftdtfuxuxfvxvx'ln1(3)()xxftdt2111(ln)()()fxfxxx2040sin0(4);()0limxxtdtx12'(5)(2)bafxdx1222(f(b)f(a))220(6).(0)aaxdxa.42aoxya00()(7)()2()()aaafxfxdxfxdxfx为奇函数为偶函数3223cos(9)1xxxdxx92211111lnln,(ln),lneeeexdxxdxxdxdxx(8）比较大小，11.110pCCpdxxp时。一般地，当时在收敛，时发散。101,,;1,.()bpadxpxpa当2.积分当时时义敛广发散收1(9)(ln)kedxkxx当为何值时收敛？1111ln(ln)(ln)kkkeedxdxdtxxxt31(10)pdxpx10取何值时，广义积分收敛。12031133pp时，即1112000111dxdxdxxxx(11)请判别，，的敛散性。