三重积分

§5.三重积分数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！）1.球面:02222aazyx表示以原点为球心，半径为a的球面。2.柱面：平行于定直线L并沿定曲线C移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。一般地，方程0),(yxf表示以曲线00),(:zyxfC为准线，母线平行于z轴的柱面。类似可以写出方程0),(0),(xzfzyf和表示的曲面。注：当准线是直线时，柱面退化为平面。几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）（1）12222byax表示母线平行于z轴的椭圆柱面。特别地，当ba时，它表示母线平行于z轴的圆柱面。这里的定直线L就是z轴。（2）022ppxy表示母线平行于z轴的抛物柱面。（3）1-2222bzax表示母线平行y轴的双曲柱面。3.旋转曲面：平面曲线C绕该平面上一条定直线L旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。其中平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线L叫做旋转曲面的轴。例如平面曲线,00),(:xzyfC绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为0),(22zyxf。记忆口诀：绕谁谁不变，用另外两个变量的平方和的正负算术平方根代替方程中另外一个变量。如果取旋转曲面的母线为坐标面曲线，旋转轴为坐标轴，则可以得到以下几种常用的旋转曲面。（旋转曲面的名称与母线名称对应）（1）旋转椭球面椭圆,0,12222zbyax绕y轴旋转而成的曲面方程为122222byazx，绕x轴的旋转曲面方程请大家自行给出。（2）旋转双叶双曲面双曲线012222zbyax绕x轴旋转而成的曲面方程为122222bzyax（旋转双叶双曲面）（3）旋转单叶双曲面双曲线012222zbyax绕y轴旋转而成的曲面方程为122222byazx（旋转单叶双曲面）（4）旋转抛物面抛物线0)0(22xppzy绕z轴旋转而成的曲面方程为pzyx222。（经常出现）（5）圆锥面（也是旋转曲面）直线00zkkxy绕x轴旋转一周而成的曲面方程为222222,xkzykxzy即（经常出现，注意圆锥面的半顶角）（6）椭球面方程0,0,01222222cbaczbyax表示的曲面为椭球面。注：当cba时，方程表示的曲面为球面；当cba,,中有两数相等时，它表示旋转椭球面。（见前面（1））4.抛物面：椭圆抛物面和双曲抛物面由于椭圆抛物面在数学分析中较少出现，我这里就不展开了。关于双曲抛物面这里大家只要掌握如下的双曲抛物面xyz(出现时，大家注意下它的投影曲线一定要结合图像，因为单从方程出发经常会遗漏一部分曲线)的图像就够了，当然这是我做题的一点感受而已，大家完全可以多掌握几种常用的双曲抛物面的图像。说明：由于双曲抛物面的图像的形状像马鞍子，故也称为马鞍面。（见例8，这里先简单做下说明，没时间的话请大家自行考虑一下）5.双曲面：单叶双曲面和双叶双曲面。说明：我个人觉得这两种双曲面的图像不用掌握太多，只要掌握旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面的图像就足够了，而这两种曲面的图像前面已给出。6.锥面这里大家只要掌握圆锥面的图像就足够了，而这种曲面的图像前面已给出。7.平面这个曲面大家比较熟悉，我这里就不展开了。注：空间中任何一个平面与关于zyx,,的三元一次方程具有一一对应关系。下面再介绍一点关于投影的知识。空间曲线在坐标面上的投影：以空间曲线C为准线，母线垂直于xoy面的柱面叫做C在xoy面上的投影柱面。该投影柱面与xoy面的交线叫做C在xoy面上的投影曲线（简称投影）。注：数学分析中的曲线经常由一般方程给出。设空间曲线C的一般方程为0,,0),,(zyxGzyxF（1），利用方程的初等变换（即换法变换，倍法变换，消法变换三类初等变换）从方程组中消去z得到方程0,yxH（2），则交线00),(zyxH必定包含了空间曲线C在xoy面上的投影曲线。注：因为是包含关系，所以需要结合图像来断定交线00),(zyxH是否刚好是空间曲线C在xoy面上的投影曲线。下面证明这个包含关系：证明：任取点CzyxM,,,于是其坐标zyx,,满足方程组（1），而方程（2）是由方程组（1）经过方程的初等变换得到的，故点M的前两个坐标x,y必然满足方程（2），因此点M在方程（2）0,yxH表示的柱面上，再由点M的任意性知道该柱面包含了空间曲线C.从而交线00),(zyxH必定包含了空间曲线C在xoy面上的投影曲线。类似地可以从方程组中消去x或y，其结论请大家自行给出。例子1-1：求空间曲线1111:222222zyxzyxC在yoz面上的投影曲线的方程。解：从方程组中消去x（两方程相减）得到01zy,于是交线001xzy表示yoz面上的一条直线，但是容易判断出所给空间曲线在yoz面上的投影曲线只是该直线的一部分，即01001xyzy。为什么？下面先给出空间区域在坐标面上的投影区域的定义。所谓空间中一个立体在坐标面上的投影区域，是指该立体内的所有点在某一坐标面上的投影点所组成的点集。有了关于投影区域的清楚认识后，下面再给出一道例题来说明怎么确定立体在坐标面上的投影区域。（这里就要利用空间曲线在坐标面上的投影曲线来界定投影区域的边界）例子1-2：求由上半球面222yxz和抛物面22yxz所围立体在xoy面上的投影区域。解:从交线22222yxzyxz中消去z，得到方程122yx，结合图形容易知道，交线在xoy面上的投影曲线就是方程组0122zyx表示的曲线，它是xoy面上的一个圆周，该圆周在xoy面上所围的部分0122zyx就是立体在xoy面上的投影区域。温馨提示：确定投影曲线和投影区域是数学分析中计算多重积分的基础，请大家务必掌握好！还有一点要说明的是一定要结合图形确定，到底该方程组表示的投影曲线是否刚好是所给空间曲线在xoy面上的投影曲线，这点很重要！一：三重积分的概念说明：三重积分是二重积分的一个自然推广。类似于二重积分，在讨论三重积分时，以长方体的体积为出发点，可以定义可求体积的空间有界图形，并给出空间区域可求体积的充要条件。在此基础上，通过分割，求和，取极限，对定义在可求体积的空间有界闭区域上的三元函数定义其三重积分。二：三重积分的性质（三重积分的性质，可积条件以及可积函数类，都可以由二重积分的相应内容稍作修改得到）参考P228二重积分的性质，由于时间的关系，这里我只列出性质。1.三重积分的线性性。（加法和数乘）类比p228的性质1和2.2.三重积分的区域可加性。类比性质33.三重积分的保序性。类比性质4.4.三重积分的绝对可积性。类比性质5.5.三重积分也有类似于性质6的性质。（请大家自己给出）6.三重积分的积分中值定理。类比性质7.7.三重积分的乘积可积性。类比我上次提到的补充性质8.三：三重积分的计算方法。（本节的重点）注：将三重积分化为累次积分时，即化为三次积分，积分次序与积分区域V的表示方式密切有关。1.利用直角坐标计算三重积分定理21.15的第二种形式：设函数hedcbaVzyxf,,,),,(在上的三重积分存在（即函数zyxf,,在V上可积），且对任意给定的hedcDzy,,,，dxzyxfzygba),,(),(定积分存在，则二重积分Ddydzzyg),(也存在，且VDbadxzyxfdydzdxdydzzyxf),,(),,(。注：请大家自行写出该定理的第三种形式（提示：将三重积分化为先对y做定积分后对x,z做二重积分的累次积分公式）定理21.16：见书（同理请大家自行写出该定理的其他两种形式）根据定理21.15的第二种形式和定理21.16得到以下推论：推论：设函数hedcbaVzyxf,,,),,(在长方体上连续，则Vdxdydzzyxf),,(hedcDdzzyxfdydxdydzzyxfdxdxzyxfdydzhedcDbaDbaba,,,),,(),,(),,(其中。把三重积分化为三次积分来计算，首先要降低积分的重数，就是将三重积分化为二重积分与单积分的叠积分，下面我就不同类型的积分区域来分别进行讨论。（1）坐标面投影法（即先计算定积分后计算二重积分法，简称“先一后二”法）设积分区域V在xoy面上的投影区域为xyD，且V能够表示为）（其中yxzzyxzzDyxyxzzyxzzyxVxy,),,(,),(),,(),(),,(2121（a）在xyD上连续。则称V是xy型空间区域。其特点：平行于z轴且通过xyD的内点的直线与V的边界曲面相交不多于两点。（见书上图21-30）xy型空间区域V在xoy面上的投影柱面把V的边界曲面分成下边界曲面1和上边界曲面2两部分，设它们的方程分别是),(),(),,(:),(z212211yxzyxzyxzzyxz且与：过xyD内任一点（x,y）作平行于z轴的直线，这直线先通过1后通过2，穿入点与穿出点的竖坐标分别是),(),(21yxzyxz与。于是我们先对固定的点),(,,,,21yxzyxzDyxxy在区间）（上作定积分dzzyxfyxzyxz),(),(21),,(,当点（x,y）在xyD上变动时则该定积分是xyD上的二元函数，我将其设为),(yxG，然后将),(yxG在xyD上作二重积分.),,(,G),(),(21dxdydzzyxfdxdyyxxyxyDDyxzyxz）（由上面的讨论得到以下三重积分的计算方法：设xy型空间区域V由（a）式给出，且函数上连续在Vzyxf),,(，则.),,(,G),,(),(),(21dxdydzzyxfdxdyyxdxdydzzyxfxyxyDDyxzyxzV）（注：注意条件。等式最右边的积分称为叠积分。用上述等式计算三重积分时，叠积分中的二重积分还需进一步化为二次积分。例如当xyD是x型区域，即上连续在和其中baxyxybxaxyyxyyxDxy,)()(,),()(),(2121，则上面等式最右边可进一步化为：dzzyxfdydxdxdydzzyxfxyxyyxzyxzVba)()(),(),(2121),,(),,(当xyD是y型区域时，请大家自行写出公式，注意条件是什么！类似地，当V是yz型空间区域或zx型空间区域时，都可以把三重积分按“先一后二”法来计算。由于这方法是先把积分区域V向坐标面作投影，且叠积分中的二重积分是在V的投影区域上进行的，故也称该方法为坐标面投影法。（2）坐标轴投影法（先计算二重积分后计算定积分法，即“先二后一”法）设积分区域V向z轴作投影得一投影区间he,，且V可以表示为hzeDyxzyxVz,,,,，（b）其中zD是过点（0,0，z）(注意这里的hez,)且平行于xoy面的平面截V所得的平面区域，则称V是z型空间区域。它的特点是：当hze时，竖坐标为z的平面截V所得的是一个平面区域zD（见书上图21-32）当V是z型空间区域时，对于固定的hez,，我们先在截面区域zD上作二重积分zDdxdyzyxf),,(，而z在区间he,上变动时，该二重积分是z的函数，我们将其设为z，然后将z在区间he,上作定积分dzdxdyzyxfdzzheDhez),,(。由上面的讨论得到以下计算三重积分的方法：设z型空间区域V由(b)式给出，且函数上连续在Vzyxf),,(，则