高数 微分方程

一阶线性微分方程第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第十二章一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程;对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得.2.12的通解求例xxeyxy22:xxeQxP令解xdxe2)21(22Cxex2xe))((:)()(CdxexQeydxxPdxxP通解)(22Cdxexexdxx)(Cdxx12..xdyeydxxx例求的解xeQxPx1:令解dxxey1)(1Cdxexx)(1Cexx)(1Cdxexedxxx.ln.3的解求例xxyyxxyxyln11:解)ln1(11Cdxexeydxxdxxx)ln(lnCxx)ln1(lnlnCdxexexx)ln1(Cdxxxx1.1|,31:12的特解求xyxyxyex)3(:121Cdxexeydxxdxx解)23(2Cxx21Cxxy2123311xy由，代入得.0)2(.42的解求例ydxdyyxyxydydx2:解)(:22Cdyyeexdyydyy通解)(132Cdyyy)41(142Cyy224Cyy).(),()(,)(.520xfxfxdtttfxfx求满足方程连续设例)(:xxf解xxxfxf2)()(即　)2()(Cdxxeexfxdxxdx)2(2222Cdxxeexx)2(2222Ceexx222xCe0)0(f2C22)(22xexf求导分析：等式两边对x)(2xfx（一阶线性方程）二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:)()(dd1xQyxPxyynn令,1nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)例6.求方程的通解.解:令,1yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1yzxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示:xxyyydd1可分离变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程备用题1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf2.设有微分方程,)(xfyy其中)(xf10,2x1,0x试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题10,2xyy00xy利用通解公式,得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00xy得21C故有)10(22xeyx2)再解定解问题1,0xyy1122)1(eyyx此齐次线性方程的通解为)1(2xeCyx利用衔接条件得)1(22eC因此有)1()1(2xeeyx3)原问题的解为y10),1(2xex1,)1(2xeex