华中农业大学数学建模A.B课件下载

--数学建模基地系列课件--数学建模微分与模糊专题微分方程模糊微分Part2:模糊数学：微分方程一微分方程模型二差分方程模型华中农业大学数学建模基地在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系，但却能容易得出包含变量导数在内的关系式，这就是微分方程.在现实社会中，又有许多变量是离散变化的，如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.华中农业大学数学建模基地不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时，可以利用计算机求其数值解)，既使得到其解析解，尚有未知参数需要估计(这时可利用第二章参数估计方法).而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.)(limxtxt则称平衡点x0是稳定的.)14()(ddxftx称代数方程f(x)=0的实根x=x0为方程(4-1)的平衡点(或奇点).它也是方程(4-1)的解.设一维微分方程模型平衡点的稳定性华中农业大学数学建模基地由于),)(()(00xxxfxf在讨论方程(4-1)的)24())((dd00xxxftx来代替.稳定性时，可用一阶微分方程模型平衡点的稳定性也是方程(4-2)的平衡点.(4-2)的通解为,e)(0)(0xCtxtxf关于x0是否稳定有以下结论：①若,0)(0xf则x0是稳定的；②若则x0是不稳定的.,0)(0xf这个结论对于(4-1)也是成立的.一阶微分方程模型平衡点的稳定性华中农业大学数学建模基地)34().,(dd),,(ddyxgtyyxftx代数方程组.0),(,0),(yxgyxf的实根x=x0,y=y0称为方程(4-3)的平衡点,记作P0(x0,y0).它也是方程(4-3)的解.微分方程组的平衡点的稳定性华中农业大学数学建模基地如果,)(lim,)(lim00ytyxtxtt则称平衡点P0是稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性是否稳定的判别准则.设,)()(00yPgxPfpyPgxPgyPfxPfq)()()()(0000则当p＞0且q＞0时，平衡点P0是稳定的；当p＜0或q＜0时，平衡点P0是不稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性华中农业大学数学建模基地稳定性模型•建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。•不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。华中农业大学数学建模基地•再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）•再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及分析•在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。•如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景实例：捕鱼业的持续收获)1()()()1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF记假设•无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律•单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模•捕捞情况下渔场鱼量满足r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量，产量模型)(xF0),1(10xrENxErxFrExF)(,)(10平衡点稳定性判断0)(,0)(10xFxFrE0)(,0)(10xFxFrEx0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率不稳定稳定10,xx稳定不稳定10,xx产量模型华中农业大学数学建模基地图解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)(xFP的横坐标x0~平衡点2//*0*rxhEmy=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标h~产量)4/,2/(*0*rNhNxPm产量最大f与h交点P稳定0xrEhmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半产量模型－最大产量)1()()()()1(4222NpcrNhRcEpExSTR效益模型假设•鱼销售价格p•单位捕捞强度费用c单位时间利润)/1(0rENx稳定平衡点求E使R(E)最大)1(2pNcrERpcN22)1(rENxRR渔场鱼量2*rE收入T=ph(x)=pEx支出S=cE(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(4-6)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(4-6)的解,包含k个任意常数的解称为(4-6)的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解.差分方程模型…,xk－1已知，则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数a是差分方程(4-6)的解，即F(n;a,a,…,a)=0,则称a是差分方程(4-6)的平衡点.又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.差分方程模型=b,(其中a,b为常数，且a≠-1,0)的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当|a|＜1时，b/(a+1)是稳定的平衡点.差分方程模型=r,其中a,b,r为常数.当r=0时，它有一特解x*=0；当r≠0，且a+b+1≠0时，它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形，x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=2.差分方程模型华中农业大学数学建模基地①当1,2是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;②当1,2=是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2n)n;则差分方程模型华中农业大学数学建模基地③当1,2=(cos+isin)是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+n(C1cosn+C2sinn).易知，当且仅当特征方程的任一特征根|i|＜1时,平衡点x*是稳定的.差分方程模型=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程*),(*)*)((1xfxxxfxnn1|*)(|xf时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.因此当时,x*是稳定的；当1|*)(|xf时,x*是不稳定的.当1|*)(|xf差分方程模型~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系)(kkxfy生产者的供应关系供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0)(1kkyhx)(1kkxgy模型建立32211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点)(kkxfy)(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk蛛网模型0321PPPP稳定性分析xy0y0x0P0fggfKK曲线斜率稳定性分析华中农业大学数学建模基地)(kkxfy)(1kkyhx在P0点附近用直线近似曲线)0()(00xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定P0不稳定0xxkkxfKgK/1)/1()/1(1方程模型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致稳定性分析华中农业大学数学建模基地)(00xxyykk~商品数量减少1单位,价格上涨幅度)(001yyxxkk~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格1经济稳定结果解释使尽量小，如=0以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf需求曲线变为水平供应曲线变为竖直结果解释－政府干预华中农业大学数学建模基地]2/)[(0101yyyxxkkk•生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。)(00xxyykk生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变,2,1,)1(22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程)(1kkyhx211kkkyyhx模型的推广)(22,1方程通解kkkccx2211(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根022平衡点稳定的条件:12,12平衡点稳定条件比原来的条件放宽了122,1x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件模型的推广模糊数学华中农业大学数学建模基地一、经典集合与特征函数集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、