2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分一、选择题1．（2013年高考湖北卷（理））已知a为常数,函数()lnfxxxax有两个极值点1212,()xxxx,则（）A．121()0,()2fxfxB．121()0,()2fxfxC．121()0,()2fxfxD．121()0,()2fxfx【答案】D2．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知函数32()fxxaxbxc,下列结论中错误的是（）A．0xR,0()0fxB．函数()yfx的图像是中心对称图形C．若0x是()fx的极小值点,则()fx在区间0(,)x上单调递减D．若0x是()fx的极值点,则0'()0fx【答案】C3．（2013年高考江西卷（理））若22221231111,,,xSxdxSdxSedxx则123SSS的大小关系为（）A．123SSSB．213SSSC．231SSSD．321SSS【答案】B4．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））设函数222,2,0,8xeefxxfxxfxfxfxx满足则时，（）A．有极大值,无极小值B．有极小值,无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【答案】D5．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））设函数()fx的定义域为R,00(0)xx是()fx的极大值点,以下结论一定正确的是（）高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！A．0,()()xRfxfxB．0x是()fx的极小值点C．0x是()fx的极小值点D．0x是()fx的极小值点【答案】D6．（2013年高考北京卷（理））直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（）A．43B．2C．83D．1623【答案】C7．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知e为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(kxexfkx,则（）A．当1k时,)(xf在1x处取得极小值B．当1k时,)(xf在1x处取得极大值C．当2k时,)(xf在1x处取得极小值D．当2k时,)(xf在1x处取得极大值【答案】C二、填空题8．（2013年高考江西卷（理））设函数()fx在(0,)内可导,且()xxfexe,则(1)xf______________【答案】29．（2013年高考湖南卷（理））若209,TxdxT则常数的值为_________.【答案】310．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））若曲线lnykxx在点1,k处的切线平行于x轴,则k______.【答案】1三、解答题11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知函数)ln()(mxexfx.(Ⅰ)设0x是()fx的极值点,求m,并讨论()fx的单调性;高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！(Ⅱ)当2m时,证明()0fx.【答案】12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知函数321,12cos.0,12exxfxxgxaxxxx当时，(I)求证:11-;1xfxx(II)若fxgx恒成立,求实数a取值范围.高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【答案】高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！13．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.设函数axxxfln)(,axexgx)(,其中a为实数.(1)若)(xf在),1(上是单调减函数,且)(xg在),1(上有最小值,求a的取值范围;(2)若)(xg在),1(上是单调增函数,试求)(xf的零点个数,并证明你的结论.卷Ⅱ附加题部分答案word版[选做题]第21题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题．．．．．．,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】解:(1)由01)('axxf即ax1对),1(x恒成立,∴max1xa而由),1(x知x11∴1a由aexgx)('令0)('xg则axln高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！当xaln时)('xg0,当xaln时)('xg0,∵)(xg在),1(上有最小值∴aln1∴ae综上所述:a的取值范围为),(e(2)证明:∵)(xg在),1(上是单调增函数∴0)('aexgx即xea对),1(x恒成立,∴minxea而当),1(x时,xee1∴ea1分三种情况:(Ⅰ)当0a时,xxf1)('0∴f(x)在),0(x上为单调增函数∵0)1(f∴f(x)存在唯一零点(Ⅱ)当a0时,axxf1)('0∴f(x)在),0(x上为单调增函数∵)1()(aaaeaaeaef0且af)1(0∴f(x)存在唯一零点(Ⅲ)当0ea1时,axxf1)(',令0)('xf得ax1∵当0xa1时,xaxaxf)1()('0;xa1时,xaxaxf)1()('0∴ax1为最大值点,最大值为1ln11ln)1(aaaaaf①当01lna时,01lna,ea1,)(xf有唯一零点eax1②当1lna0时,0ea1,)(xf有两个零点实际上,对于0ea1,由于eaeaeef111ln)1(0,1ln11ln)1(aaaaaf0且函数在ae1,1上的图像不间断∴函数)(xf在ae1,1上有存在零点高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！另外,当ax1,0,axxf1)('0,故)(xf在a1,0上单调增,∴)(xf在a1,0只有一个零点下面考虑)(xf在,1a的情况,先证)(lnln)(1111121aaaaaeaaaeeaaeeef0为此我们要证明:当xe时,xe2x,设2)(xexhx,则xexhx2)(',再设xexlx2)(∴2)('xexl当x1时,2)('xexle-20,xexlx2)(在,1上是单调增函数故当x2时,xexhx2)('4)2(2'eh0从而2)(xexhx在,2上是单调增函数,进而当xe时,2)(xexhx2)(eeehe0即当xe时,xe2x,当0ae1时,即1ae时,)(lnln)(1111121aaaaaeaaaeeaaeeef0又1ln11ln)1(aaaaaf0且函数)(xf在1,1aea上的图像不间断,∴函数)(xf在1,1aea上有存在零点,又当xa1时,xaxaxf)1()('0故)(xf在,1a上是单调减函数∴函数)(xf在,1a只有一个零点综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当0a时,)(xf的零点个数为1;当0ae1时,)(xf的零点个数为214．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设函数21xfxxekx(其中kR).(Ⅰ)当1k时,求函数fx的单调区间;高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！(Ⅱ)当1,12k时,求函数fx在0,k上的最大值M.【答案】(Ⅰ)当1k时,21xfxxex,1222xxxxfxexexxexxe令0fx,得10x,2ln2x当x变化时,,fxfx的变化如下表:x,000,ln2ln2ln2,fx00fx极大值极小值右表可知,函数fx的递减区间为0,ln2,递增区间为,0,ln2,.(Ⅱ)1222xxxxfxexekxxekxxek,令0fx,得10x,2ln2xk,令ln2gkkk,则1110kgkkk,所以gk在1,12上递增,所以ln21ln2ln0gke,从而ln2kk,所以ln20,kk所以当0,ln2xk时,0fx;当ln2,xk时,0fx;所以3max0,max1,1kMffkkek令311khkkek,则3khkkek,令3kkek,则330kkee所以k在1,12上递减,而1313022ee所以存在01,12x使得00x,且当01,2kx时,0k,当0,1kx时,0k,高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！所以k在01,2x上单调递增,在0,1x上单调递减.因为1170228he,10h,所以0hk在1,12上恒成立,当且仅当1k时取得“”.综上,函数fx在0,k上的最大值31kMkek.．（2013年高考江西卷（理））已知函数1()=(1-2-)2fxax,a为常数且0a.(1)证明:函数()fx的图像关于直线1=2x对称;(2)若0x满足00(())=ffxx,但00()fxx,则称0x为函数()fx的二阶周期点,如果()fx有两个二阶周期点12,,xx试确定a的取值范围;(3)对于(2)中的12,xx和a,设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.【答案】(1)证明:因为11()(12),()(12)22fxaxfxax,有11()()22fxfx,所以函数()fx的图像关于直线12x对称.(2)解:当102a时,有224,(())4(1),axffxax1,21.2xx所以(())ffxx只有一个解0x,又(0)0f,故0不是二阶周期点.当12a时,有,(())1,xffxx1,21.2xx高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！所以(())ffxx有解集1|2xx,又当12x时,()fxx,故1|2xx中的所有点都不是二阶周期点.当12a时,有222221,4