3-复变函数的积分习题课

2一、重点与难点重点：难点：1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式复合闭路定理与复积分的计算3二、内容提要有向曲线复积分积分存在的条件及计算积分的性质柯西积分定理原函数的定义复合闭路定理柯西积分公式高阶导数公式调和函数和共轭调和函数4设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那末我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.xyoAB如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,.C记为1.有向曲线52.积分的定义,,,,,,,,,,)(110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk设分点为个弧段任意分成把曲线的一条光滑的有向曲线终点为内起点为为区域内定义在区域设函数oxyAB1nzkz1kz2z1zkC12,),,2,1(1kkknkzz上任意取一点在每个弧段6,)()()(111knkknkkkknzfzzfS作和式oxyAB1nzkz1kz2z1zkC12},{max1knks记,,11的长度这里kkkkkkzzszzz,0时无限增加且当n,)(,,记为的积分沿曲线函数那么称这极限值为一极限有唯的取法如何的分法及如果不论对CzfSCnk.)(limd)(1knkknCzfzzf73.积分存在的条件及计算（1）化成线积分且存在则积分连续沿逐段光滑的曲线设,d)(,),(),()(CzzfCyxivyxuzfCCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（2）用参数方程将积分化成定积分的参数方程是设简单光滑曲线C)()()()(btatiytxtzz.d)()]([d)(ttztzfzzfCba则84.积分的性质;d)(d)()1(CCzzfzzf)(;d)(d)()2(为常数kzzfkzzkfCC;d)(d)(d)]()([)3(CCCzzgzzfzzgzf.)(),(连续沿曲线设CzgzfCCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,,)4(21则连结而成由设CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)(,)()(,)5(那末上满足在函数的长度为设曲线95.柯西－古萨基本定理(柯西积分定理).d)(,)(无关线与连结起点及终点的路那末积分析内处处解在单连通域如果函数定理1CzzfBzfC.0d)(:)(,)(czzfCBzfBzf的积分为零内的任何一条封闭曲线沿那末函数内处处解析在单连通域如果函数10).()(,d)()(,)(0zfzFBfzFBzfzz并且解析函数内的一个必为那末函数析内处处解在单连通域如果函数定理2由定理得21d)(d)(CCzzfzzf10d)(zzzzfBB0z1z0z1z1C2C1C2C116.原函数的定义.)()(,)()(,)()(的原函数内在区域为那末称即内的导数为在区域如果函数BzfzzfzzfBz.)(d)()(0的一个原函数是因此zffzFzz.)(一个常数的任何两个原函数相差zf.,)()(d)(,)()(,)(100110内的两点为域这里那末的一个原函数为内处处解析在单连通域如果函数定理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz(牛顿-莱布尼兹公式)127.闭路变形原理,,,,,,,,,,,2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于并且以互不包含也互不相交它们内部的简单闭曲线是在内的一条简单闭曲线多连通域为设,)(内解析在如果DzfDC1C2C3C复合闭路定理一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.那末13).,,,,:(,,,,2121顺时针进行按按逆时针进行其方向是组成的复合闭路为由这里nnCCCCCCCC.0d)()2(zzf;均取正方向及其中kCC,d)(d)()1(1nkCCkzzfzzf148.柯西积分公式CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)(,,,,)(000那末内任一点为于它的内部完全含闭曲线内的任何一条正向简单为内处处解析在区域如果函数一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.则有是圆周如果,0ieRzzC.d)(π21)(π2000ieRzfzf159.高阶导数公式.,)(),2,1(d)()(2!)(:,)(0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于线任何一条正向简单闭曲的内围绕的解析区域为在函数其中导数为阶它的的导数仍为解析函数解析函数16.),(0,,),(2222内的调和函数为区域那末称并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数内具在区域如果二元实变函数DyxyxDyx10.调和函数和共轭调和函数任何在D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数.17.,的共轭调和函数称为和函数中的两个调内满足方程在即uvxvyuyvxuD,.),(),(,),(的共轭调和函数称为函数内构成解析函数的调和在们把使我内给定的调和函数为区域设yxuyxvDivuDyxu定理区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.共轭调和函数18三、典型例题例1计算的值，其中C为1）沿从到的线段：2）沿从到的线段：与从到的线段所接成的折线.czzd)0,0()1,1(;10,,ttytx)0,0()0,1(,10,0,:1tytxC)0,1()1,1(10,,1:2ttyxC解10)(d)(dittittzzc10d)1)((tiitt10d2tt)1,1()0,1(C1C2COxy;119zzzzzzcccddd)2211010d)1(dtiittti2121.1i说明同一函数沿不同路径所得积分值不同.20，因为21z22111zzz所以221z,2因此zzzzzzccd11d11证.8222例2设C为圆周证明下列不等式.21z.8d11czzz21解222442zzzz,1124.d42)1cos(21001zzzzzz例3计算1z当时,故由柯西积分定理得.0d42)1cos(21001zzzzzz22计算以下积分沿指定路径23:izC例4CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解由复合闭路定理有则及为半径作圆以为圆心及以分别及内有两个奇点在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzzCCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(122223解法一利用柯西-古萨基本定理及重要公式izizzzz1211211)1(12由柯西-古萨基本定理有,0d1211zizC,0d1211zizC,0d12zzC,0d1212zizCyxOiiC2C1C2421d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii2212.i25解法二利用柯西积分公式,11)(121内解析在Czzf,)(1)(22内解析在CizzzfCCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(122221d)]([1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi2122ii.i26由复合闭路定理有则及为半径作圆以为圆心及以分别及内有两个奇点在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzezCCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121内解析在Czezfz,)()(22内解析在Cizzezfz因此由柯西积分公式得27CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(22221d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi222ieii)].1cos2(1[sini)2(iei28.10,d)1(3光滑曲线的闭与是不经过其中计算CzzzeCz例5解分以下四种情况讨论：则也不包含既不包含若封闭曲线,10)1C,)1()(3内解析在Czzezfz.0d)1(3Czzzze古萨基本定理得由柯西29则而不包含包含若封闭曲线,10)2C由柯西积分公式得内解析在,)1()(3CzezfzxyOC1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(3303)1(2zzzei.2i30则而不包含包含若封闭曲线,01)3C,)(内解析在Czezfz由高阶导数公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33zzzeCzd)1(3)1(!22fi132)22(zzzezzi.ie31,01)4又包含既包含若封闭曲线C,,,,,0,1,0212121互不包含互不相交与且内也在和使为半径作圆以为圆心则分别以CCCCCCC据复合闭路定理有Czzzzed)1(321d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC11C2C32Cziezzze.)2(d)1(3所以,)3d)1(23iezzzeCz的结果即为而积分,2)2d)1(13izzzeCz的结果即为而积分33解0)1(1)1()!1(2d)1(znznnizz;00)1(1)()!1(2d)2(znzznzenizze0)!1(2zzeni.)!1(2ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn为大于1的自然数.n例6计算下列积分所以的奇点和是因为,10nznzezz34).,(),()(),(.),(22yxivyxuzfyxvxyyxyxu及解析函数轭调和函数求其共已知调和函数例7解法一不定积分法.利用柯西—黎曼方程,,2)2(xyxyyuxv),(22d)2(2ygxxyxxyv得).(2ygxyv.2yxxuyv又35,2)(2:yxygx比较两式可得.)(yyg故.2d)(2Cyyyyg即)(22222为任意常数因此CCyxxyv因而得到解析函数),(),()(yxiyxuzfiCyxxyixyyx222)(2222iCyixyxiyixyx)2(2)2(2222.)2(22iCiz36解法二线积分法.),()0,0(),(d),(yxCyxvyxv因为),()0,0(ddyxCyyvxxv,dd),()0,0(yxCyxuxyu),()0,0(d)2(d)2(),(yxCyyxxxyyxv所以)0,()0,0()0,()0,0(d)2(d)2(xxyyxxxy),()0,(),()0,(d)2(d)2(yxxyxxCyyxxxy37xyCyyxxx00d)2(d)0(),(22222为任意常数CCyxyx因而得到解析函数),(),()(yxiyxuzf.2)2(2iCizCyyxxxyxxyyx]d)2([]d)2([00038解法三全微分法yyvxxvvddd