教案4-不定积分new

第四章不定积分1第四章不定积分§4.1不定积分概念微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题：已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。“积分”是“微分”的逆运算。一、原函数1、原函数定义我们在讨论导数的概念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间t变化的规律为()sst，那么，在任意时刻t物体运动的速度为()()vtst。现在提出相反的问题：例1已知某物体运动的速度随时间t变化的规律为()vvt，要求该物体运动的路程随时间变化的规律()sst。显然，这个问题就是在关系式()()vtst中，当()vt为已知时，要求()st的问题。例2已知曲线()yfx上任意点(,)xy处的切线的斜率为2x，要求此曲线方程，这个问题就是要根据关系式2yx，求出曲线()yfx。从数学的角度来说，这类问题是在关系式()()Fxfx中，当函数()fx已知时，求出函数()Fx。由此引出原函数的概念。定义4.1:设)(xf是定义在某区间I内的已知函数，如果存在一个函数)(xF，对于每一点xI，都有：()()Fxfx或dxxfxdF)()(则称函数)(xF为已知函数)(xf在区间I内的一个原函数。例如，由于(sin)cosxx，所以在(,)内，sinx是cosx的一个原函数；又因为(sin2)cosxx，所以在(,)内，sin2x是cosx的一个原函数；更进一步，对任意常第四章不定积分2数C，有(sin)cosxCx，所以在(,)内，sinxC都是cosx的原函数。2、原函数性质（1）如果函数)(xf在区间I内连续，则)(xf在区间I内一定有原函数；（2）若)()(xfxF，则对于任意常数C，CxF)(都是)(xf的原函数。即如果()fx在I上有原函数，则它有无穷多个原函数；（3）若)(xF和)(xG都是)(xf的原函数，则CxGxF)()(，（C为任意常数）。即任意两个原函数只相差一个常数。二、不定积分1、不定积分定义定义4.2:若)(xF是)(xf在区间I内的一个原函数，则称()FxC(C为任意常数)为)(xf在区间I内的不定积分，记为()dfxx，即()d()fxxFxC。其中：——为积分号，)(xf——被积函数，()dfxx——被积表达式，x——积分变量，C——积分常数。由不定积分的定义可知，计算一个函数的不定积分时，就归结为“求出被积函数的一个原函数再加上任意的常数”即可。例1计算下列不定积分。（1）2dxx；（2）sindxx；（3）edxx。解（1）因为xx2()2，所以x2是x2的一个原函数，由不定积分的定义知：xxxC22d。第四章不定积分3（2）因为(cos)sinxx，所以cosx是sinx的一个原函数，由不定积分的定义知sincosxxxCd。（3）因为(e)exx，所以ex是ex的一个原函数，由不定积分的定义知xxxCede。例2求dxx1。解：①当0x时，∵xx1ln，即xln是x1的一个原函数∴Cxdxxln1②当0x时，∵xxx11)ln(，∴Cxdxx)ln(1两式合并，当0x时，有：Cxdxxln1。由上述例题可以看出，求不定积分就是求被积函数的全体原函数，这个“全体”就体现在任意常数C上,因此,求不定积分时,积分常数C不能丢。由于“积分”和“微分”互为逆运算，故检验一个积分结果是否正确，只须对积分结果求导，看他是否等于被积函数。2、不定积分性质由不定积分的定义，有：性质⑴：先积分后微分，两种互逆运算相抵消。)()(xfdxxf()()dfxdxfxdx或；性质⑵：先微分后积分，两种互逆运算抵消后，相差常数C。()()FxdxFxC或()()dFxFxC。由此可见，微分运算与求不定积分的运算是互互逆逆的。第四章不定积分4此处绘图图4-1例3利用性质求下列不定积分。（1）xdxsin；（2）dxxsin。解（1）利用“先积后微，结果等于被积函数”得：xxdxsinsin（2）利用“先微后积，结果等于被积函数+C”得：cxdxxsinsin3、不定积分几何意义不定积分的图形是由CxF)(所表示的无穷多条积分曲线所组成的“积分曲线簇”。（如图5-1所示）每一条积分曲线对应于同一横坐标0xx处的切线互相平行。不定积分几何意义：不定积分CxF)(表示)(xf的一簇积分曲线，而)(xf正是积分曲线的切线的斜率。例4求过点3,1，且其切线的斜率为x2的曲线方程。解：由xdxxC22得：cxy2的曲线簇将3,1yx代入得：2c∴22xy为过点3,1且其切线的斜率为x2的曲线方程。由图5-2可以看出：cxy2表示无穷多条抛物线，这些抛物线就构成一条关于x2的积分曲线簇。簇中每一条曲线对应于同一横坐标1x处有相同的斜率22)1(1xxf。故对应1x处，这簇曲线的切线互相平行，任两条曲线的纵坐标之间相差一个常数C。故确定一条曲线22xy，其它各曲线便可由22xy沿y轴方向上、下移动而得到。第四章不定积分5§4.2基本积分公式一、基本积分公式（背！）由不定积分的定义，从导数公式可得到相应的积分公式。为了计算方便，下面列出基本积分公式：这些基本积分公式是求不定积分时常用的公式，同学们必须熟练地掌握！二、不定积分运算法则法则⑴：函数代数和的积分等于函数积分的代数和。[()()]fxgxxd()()fxxgxxdd；推广：dxxvdxxgdxxfdxxvxgxf)()()()()()(法则⑵：被积函数中的常数因子可以移到积分号的外面。()kfxxd()kfxxd（0k）。（1）Cdx0；（2）Cxdx；（3）)1(,11nCnxdxxnn；（4）1dlnxxCx；（5）dlnxxaaxCa；（6）edexxxC；（7）sindcosxxxC；（8）cosdsinxxxC；（9）2secdtanxxxC；（10）2cscdcotxxxC；（11）sectandsecxxxxC；（12）csccotdcscxxxxC；（13）21darcsin1xxCxCarccosx；（14）21darctan1xxCxCcotxarc。第四章不定积分6现在利用不定积分的性质和基本积分公式，可以求一些函数的不定积分。例1计算下列不定积分：（1）2dxxx；（2）22(1)dxxx；（3）dxxx；（4）3edxxx。解（1）572222dd7xxxxxxC；（2）22222(1)1212dd+1dxxxxxxxxxx21d2ddxxxxx2112ln||1(2)xxxC12ln||xxCx；（3）337144414dd3714xxxxxxCxC。（4）(3e)3e3e(3e)ln(3e)1ln3xxxxxxdxdxCC。注意：检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的。第四章不定积分7三、直接积分法所谓直接积分法，就是利用不定积分的基本积分公式和法则，来求一些简单函数的不定积分。例2计算下列不定积分。（1）xdxx2；（2）xdx2tan；（3）dxxx22cossin1；（4）221d(1)xxx。解：（1）dxxxdxdxxxdxxdxx2323222CxxCxx25223123252122；（2）Cxxdxxdxdxxxdxtansec)1(sectan222；（3）dxxdxxdxxxxxdxxx22222222sin1cos1cossincossincossin1Cxxcottan；（4）221d(1)xxx22221111ddd11xxxxxxx1arctanxCx。注意：当被积函数不能直接用公式时，需先进行一些恒等变形或拆分，将其化为积分基本公式的形式，再求积分即可。例3计算下列不定积分：（1）dxxx2sin2cos；（2）2cosd2xx；（3）dxx2sin2；解（1）2222cos212sindd(csc2)dsinsinxxxxxxxxcot2xxC；（利用三角恒等变形：xxxxx2222sin211cos2sincos2cos）（2）21cos11cosdddcosd2222xxxxxxxsin22xxC。（利用三角函数降幂公式：xxcos1212cos2）第四章不定积分8（3）Cxxxdxdxdxxdxxsin2121cos21212cos12sin2（利用三角函数降幂公式：xxcos1212sin2）§4.3换元积分法一、第一类换元法（凑微分法）前面已经学习了直接积分法，但是仅利用基本积分公式和不定积分的性质所能计算的积分是非常有限的。例如计算不定积分：edxx，这个积分看上去很简单，与基本积分公式edxx相似，但不能用直接积分法。区别在于edxx中的被积函数exy是由e,uyux复合而成的。如何求出这类复合函数的积分呢？利用复合函数的求导法则可推导出计算不定积分的一种常用方法——凑微分法。先看一例子：例如：求dxxx1ln3解：dxxxdxxxlnln1ln33xdxuxlnln3ln换元令udu3Cu441用积分公式Cxxu4lnln41还原上述例题中求积分的方法就是换元法。此法关键：被积函数具有dxxxf)()(形式，设法将其凑成)()(xdxf的形式。故此类换元法又称为“凑微分法”。定理：设()Fu是()fu的一个原函数且()ux可导，则第四章不定积分9)()()()(xdxfdxxxfCuFduufux)()()(用公式令CxFxu)()(回代[()]()d[()]fxxxFxC。凑微分法的名称来源于把被积函数分为复合函数[()]fx与中间变量的导数()x两部分，再把()dxx凑成d()x。第一类换元法常做如下描述：例1求dxxx2sin解：)(sin21sin21sin22222xdxdxxxdxxxCuuudux)cos(21)(sin212令Cxxu2cos212回代例2求dxx1解：)1()1(1112121xdxdxxxdxxCuCuuduux232121321)(2111用公式令Cxxu231321回代由上述例题看出，第一类换元法关键是：如何将xdx凑成微分dx第四章不定积分10注：熟练以后，可以省去分析过程和设新变量的过程，而可以直接“凑”成基本公式形式，求出最后结果即可。例3计算下列不定积分（直接凑微分）（1）100daxbx；（2）2edxxx；（3）lndxxx；（4）2cos2xdx。解：当运算熟练之后，可以不写出中间变量，直接计算。（1）100daxbx1001daxbaxba1011.101axbCa（2）2221eded()2x