定积分的定义

1.5.3定积分的概念1.定积分的概念（1）定积分的定义式(2)积分下限__，积分上限__，积分区间________，被积函数_____,积分变量x,被积式_______.bafxdx_______________.（）nini1balimfn（）ab［a,b］f(x)f(x)dx积分上限积分号积分下限被积函数2.定积分的几何意义如果在区间［a,b］上函数f(x)连续且恒有________，那么定积分表示由直线____________和曲线_______所围成的曲边梯形的面积.f(x)≥0bafxdxx=a,x=b,y=0y=f(x)3.定积分的性质（1）（k为常数).（2）（3）bakfxdx___________bakfxdxb12afxfxdx___________________.［］bb12aafxdxfxdxbafxdx______________________________.cbacfxdxfxdxacb其中二、定积分的运算性质正确理解定积分的性质，思考下列问题：探究1:定积分的性质（2）能推广到多个函数和或差的定积分运算吗？提示:能.推广公式为b12mabbb12maaafxfxfxdxfxdxfxdxfxdx.［（）（）（）］（）（）（）探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和吗？提示:能.推广公式为121kbccbaacc12kfxdxfxdxfxdxfxdxacccb.（）（）（）（）（）【探究提升】定积分的运算性质的关注点（1）线性运算：定积分的性质（1）（2）称为定积分的线性运算，等式两边积分区间保持不变.(2)区间可加性：定积分的性质（3），称为定积分对积分区间的可加性，等式右边任意两个积分区间的交集都是空集，各个积分区间的并集等于左边的积分区间.类型一利用定义求定积分1.利用定积分的定义求的值.120x2dx【技法点拨】用定义法求积分的步骤（1）分割：将积分区间［a,b］n等分.（2）近似代替：取点ξi∈［xi-1,xi］，可取ξi=xi-1或者ξi=xi.（3）求和：（4）求极限：nii1baf.n（）nbiani1bafxdxlimf.n（）（）【变式训练】利用定积分的定义计算的值.【解析】把区间［1,2］分成n等份,每个小区间的长度为在上取所以作积求和所以21x1dx1x,ni1ii1i[x,x][1,1]nn－－ii1i1x1i1,2,,n,n－－ii1i1f112.nn－－nnii1i1i115n1fx(2)nn2n－－，21n5n15x1dxlim.2n2－类型二定积分几何意义的应用根据定积分的几何意义结合函数图象求解定积分的值，并总结用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤.1.利用定积分的几何意义填空.(1)(2)2.定积分的几何意义是什么？102dx______________.21xdx______________.3239xdx【解题指南】1.根据定积分的几何意义,通过求相应图形的面积求定积分的值.2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答.【解析】1.（1）表示的是图（1）中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以答案:2102dx102dx2.(2)表示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为所以答案:21xdx3,2213xdx.2322.被积函数的图象是以原点为圆心，半径r=3的圆位于x轴上方的部分（包括与x轴的交点）.由积分的几何意义可知，定积分表示此半圆的面积.2y9x3239xdx【互动探究】本题2若改为“求定积分的值”，结果怎样？【解题指南】根据定积分的几何意义，通过求规则图形的面积求定积分的值.3239xdx【解析】被积函数的图象是以原点为圆心，半径r=3的圆位于x轴下方的部分（包括与x轴的交点）.由积分的几何意义可知，定积分表示此半圆的面积S=的相反数，故2y9x3239xdx21932232399xdx.2【技法点拨】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤（1）准确画出各曲线围成的平面区域.（2）把平面区域分割成容易表示的几部分，同时注意x轴下方有没有区域.（3）解曲线组成的方程组确定积分的上、下限.（4）根据积分的性质写出结果.类型三定积分性质的应用熟练根据定积分的性质进行相关的运算，并总结利用定积分的性质求定积分的策略.1.已知则()2.已知2x1,0x1,fx2x,1x2,20fxdx222001212220101A.x1dxB.2xdxC.x1dx2xdxD.2xdxx1dx2200fxdx8,fx2xdx________.则［－］【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的和.2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积分的差,然后再根据定积分的几何意义求解.【解析】1.选C.由定积分的性质可知,2.因为表示x=0,x=2,y=0,y=2x围成的图形的面积，所以所以=8－4=4.答案:42122001fxdxx1dx2xdx.222000fx2xdxfxdx2xdx［－］－202xdx202xdx4.222000fx2xdxfxdx2xdx［－］－【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略（1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于每一个积分都可以利用定积分的几何意义求出,从而得到所求定积分的值.（2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再相加.提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.【拓展延伸】奇函数、偶函数在对称区间上的积分（1）若f（x）为偶函数，且在［-a,a］上图象连续不断，则（2）若f（x）为奇函数，且在［-a,a］上图象连续不断，则aaa0fxdx2fxdx.（）（）aafxdx0.（）【变式训练】已知函数f(x)为偶函数.证明【证明】由定积分的性质可知由定积分的几何意义及偶函数的图象特征可知所以2220fxdx2fxdx.－202220fxdxfxdxfxdx－－，0220fxdxfxdx－，202220fxdxfxdxfxdx－－202fxdx.1.若在区间［1,2］上,f(x)0恒成立,则的符号()A.一定为正B.一定为负C.可能为正,也可能为负D.不能判断【解析】选A.由定积分的概念可知,的值为曲边梯形的面积.而该曲边梯形始终在x轴的上方,故其值为正.21fxdx21fxdx2.求曲线y=ex,直线x=2,y=1围成的图形的面积时,若选择x为积分变量,则积分区间为()A.［0,e2］B.［0,2］C.［1,2］D.［0,1］【解析】选B.因为y=1时，由1=ex，所以x=0，所以根据围成图形的形状及积分变量可知,积分区间为［0,2］.3.已知则()【解析】选D.由定积分的性质可知20fxdx10,1201112001A.fxdx5B.fxdx5C.fxdx10D.fxdxfxdx10212001fxdxfxdxfxdx10.4.计算【解析】答案:4203x1dx_______.－2220003x1dx3xdx1dx－－126214.2－5.由所围成的图形的面积写成定积分的形式为_______.【解析】由定积分的定义和几何意义可知答案:ysinx,x0,x,y0220Ssinxdx.20sinxdx6.已知求：（1）（2）（3）122433220112115756xdxxdxxdxxdx.4433，，，2303xdx.4216xdx.22313x2xdx.（）【解析】（1）（2）（3）2123330013xdx3(xdxxdx)1153()12.444242221127566xdx6(xdxxdx)6()126.3322223231113x2xdx3xdx2xdx（）715132.342