三重积分的变量代换

首页上页返回下页结束三重积分的变量代换柱面坐标代换球面坐标代换三重积分的对称性首页上页返回下页结束.)],,(),,,(),,,([),,(:)3(;0),,(),,(),,()2(),,(),,,(),,,()1(),,(),,,(),,,(:),,(3dwdudvJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxfTwvuzyxwvuJwvuzwvuywvuxxyzuvwwvuzzwvuyywvuxxTRzyxf是一对一的，则有变换上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在，且满足空间中的变为闭区域空间中的将上连续，变换中的有界闭区域在设定理一、三重积分的换元法首页上页返回下页结束例1.求由下面方程表示的曲面所围立体的体积:其中,)()()(2233322222111hzcybxazcybxazcybxa.0:333222111cbacbacba解:令,,,333222111zcybxawzcybxavzcybxau则),,(),,(wvuzyxJ.012222||1hwvududvdwV.||343h首页上页返回下页结束oxyz1.利用柱坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设,,,代替用极坐标将ryx),,zr（则就称为点M的柱坐标.zr200sinryzzcosrx直角坐标与柱面坐标的关系:常数r坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),,(zyxMr)0,,(yx首页上页返回下页结束zrrvdddd因此zyxzyxfddd),,(适用范围:1)积分域是圆柱或它在某坐标面上的投影为圆(或一部分);2)被积函数中含有x2+y2(相应地,y2+z2,x2+z2)形式.,1000cossin0sincos,,rrrzrJ首页上页返回下页结束其中为由例2.计算三重积分xyx2220),0(,0yaazz所围解:在柱面坐标系下:cos202drrdcos342032acos20r20az0及平面2axyzozrrvdddd20dazz0dzrrzddd2原式398a柱面cos2r成半圆柱体.首页上页返回下页结束ooxyz例3.计算三重积分解:在柱面坐标系下hhrz42dhrdrhrr2022)4(12hrrr202d120dzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面原式=zrrvdddd首页上页返回下页结束2.利用球坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设),,,(z其柱坐标为就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),,(r则0200rcossinrxsinsinrycosrz坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面,rOM令),,(rMsinrcosrz首页上页返回下页结束dddsind2rrv因此有zyxzyxfddd),,(.dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf适用范围:1)积分域表面是球面或顶点在原点的圆锥面;2)被积函数含x2+y2+z2一类式子..0sincoscossinsincossinsinsinsinsincoscossin,,rrrrrrJ,sin2r首页上页返回下页结束例4.计算三重积分解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr020其中与球面dddsind2rrvRrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr首页上页返回下页结束3.广义球坐标变换直角坐标与广义球坐标的关系0200rcossinraxsinsinrbycosrcz,,rJsin2rabc例13.3.9.椭球的体积.34sin102020abcdrrddabcV1222222czbyax首页上页返回下页结束内容小结zyxdddzrrddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),,(),,(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),,(ddd),,(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成;首页上页返回下页结束二、利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１.积分区域关于坐标面的对称性；２.被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．一般地，当积分区域关于xoy平面对称，且被积函数),,(zyxf是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数),,(zyxf是关于z的偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍..,,,0),,(相应地）面对称或（或则曲面所围立体关于）以偶次方形式出现，或（或中若曲面xyxzyzzyxzyxF首页上页返回下页结束例５　利用对称性简化计算dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中积分区域}1|),,{(222zyxzyx.解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,z.01)1ln(222222dxdydzzyxzyxz首页上页返回下页结束解2)(zyx)(2222zxyzxyzyx例6计算dxdydzzyx2)(其中是由抛物面22yxz和球面2222zyx所围成的空间闭区域.其中yzxy是关于y的奇函数,且关于zox面对称,0)(dvyzxy,首页上页返回下页结束同理zx是关于x的奇函数,且关于yoz面对称,,0xzdv由对称性知dvydvx22,则dxdydzzyxI2)(,)2(22dxdydzzx首页上页返回下页结束在柱面坐标下：,20,10r,222rzr,122yx投影区域xyD：2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60首页上页返回下页结束例7.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,,cos0:3ar利用对称性,所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar,202020dsin20d4yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于xozdddsind2rrvyzxar首页上页返回下页结束轮换对称性：若积分区域Ω的表达式中将x,y,z依次轮换,表达式不变,则称Ω关于x,y,z轮换对称.此时有dvzyxf),,(dvxzyf),,(.),,(dvyxzf例8.设是由平面x+y+z=1和三个坐标面所围成的区域,求.)(dvzyxI解:由轮换对称性,xdvI3yxxdzdyxdx1010103首页上页返回下页结束说明：二重积分也有轮换对称性.若积分区域D的表达式中将x,y依次轮换,表达式不变,则称D关于x,y轮换对称.此时有.),(),(DDdxyfdyxf例9.设.)()()(],,[],[,02abdxdyyfxfbabaDfD则连续函数证:由轮换对称性,Ddxdyyfxf)()(Ddxdyxfyfyfxf)()()()(21.)(2abdxdyD首页上页返回下页结束2,zxz1.将.)(),,(Czyxf用三次积分表示,,2,0xx,42,1yxyvzyxfId),,(其中由所提示:xy2121I2d),,(xzzyxfxy2121d20dx综合例子六个平面围成,:首页上页返回下页结束zoxy22.设由锥面和球面所围成,计算提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标rrd420dsin4020d221564首页上页返回下页结束3.计算,ddd12zyxxyI所围成.其中由1,1,12222yzxzxy分析：若用“先二后一”,则有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210计算较繁!采用“先一后二”较好.1zxy1o1首页上页返回下页结束:45281122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd11221,1,1222yzxzxy由所围,故可表为解:首页上页返回下页结束4.计算其中.4,1),(2122围成由zzyxz解:利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zD首页上页返回下页结束思考题则上的连续函数为面对称的有界闭区域，中关于为若,),,(3zyxfxyR;0),,(,____),,(dvzyxfzyxf为奇函数时关于当1),,(___),,(,____),,(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时关于当.1面上方的部分在为其中xyzz2首页上页返回下页结束一、填空题:1、若由曲面和)(3222yxz16222zyx所围,则三重积分dvzyxf),,(表示成直角坐标下的三次积分是_________________;在柱面坐标下的三次积分是_________________;在球面坐标下的三次积分是__________________.2、若由曲面及222yxz22yxz所围,将zdv表为柱面坐标下的三次积分_________,其值为_______.练习题首页上页返回下页结束3、若空间区域为二曲面azyx22及222yxaz所围,则其体积可表为三重积分_______________;或二重积分______________;或柱面坐标下的三次积分___________________.4、若由不等式2222)(aazyx,222zyx所确定,将zdv表为球面坐标下的三次积分为_______________________；其值为__________.二、计算下列三重积分:1、dvyx)(22,其中是由曲面24z)(2522yx及平面5z所围成的闭区域.首页上页返回下页结束2、dvyx)(22,其中由不等式0,0222zAzyxa所确定.3、dxdydzczbyax)(222222,其中1),,(222222czbyaxzyx.三、求曲面225yxz及zyx422所围成的立体的体积.四、曲面2224aazyx将球体azzyx4222分成两部分,试求两部分的体积之比.五、求由曲面,0,,22xayxyxz0