5.xls 二元函数的偏导数与全微分

上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分一、偏导数二、高阶偏导数三、全微分四、全微分在近似计算中的应用上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分一、偏导数定义1设函数(,)zfxy在点00(,)xy的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量0000(,)(,)fxxyfxy，1、偏导数的定义如果00000(,)(,)limxfxxyfxyx存在，则称此极限为函数(,)zfxy在点00(,)xy处对x的偏导数，记为上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分同理可定义函数(,)zfxy在点00(,)xy处对y的偏导数，为00000(,)(,)limyfxyyfxyy00xxyyzx，00xxyyfx，00(,)xfxy或00(,)xZxy记为00xxyyzy，00xxyyfy，00(,)yfxy或00xxyyyz.上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分如果函数(,)zfxy在区域D内任一点(,)xy处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它称为函数(,)zfxy对自变量x的偏导函数，简称偏导数.记作zx，fx，xz或(,)xfxy.同理可以定义函数(,)zfxy对自变量y的偏导数，记作zy，fy，yz或(,)yfxy.上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分偏导数的概念可以推广到二元以上函数如函数在点处(,,)ufxyz(,,)xyz0(,,)(,,)(,,)lim,xxuxxyzuxyzuxyzx0(,,)(,,)(,,)lim,yyuxyyzuxyzuxyzy0(,,)(,,)(,,)lim.zzuxyzzuxyzuxyzz上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分例1求223zxxyy解法1zx(1,2)zx解法2(1,2)zx在点(1,2)处的偏导数.(1,2)zy23,xyzy32xy(1,2)zy264xx1xz213yy2yz上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分例2设(0,1yzxxx且），12lnxzzzyxxy证1lnxzzyxxy例3求的偏导数.解rx求证:2z2222xyzx2xr.rzzr上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分偏导数记号是一个例4已知理想气体的状态方程求证:1pVTVTp证,RTpV,RTVppVTVTp说明:(R为常数),pV2RTVVTRpRTpV1.不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分2.偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分偏导数00(,)xfxy就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线0xMT对x轴的斜率.偏导数00(,)yfxy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线0yMT对y轴的斜率.（1）几何意义:上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分（2）偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，上页下页返回则称它们是z=f(x,y)§5.2二元函数的偏导数与全微分二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数(,),(,)xyzzfxyfxyxy若这两个偏导数仍存在偏导数，()zx()zxy()zyx22()(,)yyzzfxyyyy的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导22zx(,);xxfxy2zxy(,)xyfxy2(,);yxzfxyyxx数:上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶()y1nnzxy偏导数为第二、三个偏导数称为混合偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分例5设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分22xye例6求函数2xyze32.zyx解zx22zx322()zzyxxyxzy2zyx2zxy22zy注意:此处22,zzxyyx但这一结论并不总成立.2xye22xye2xye22xye22xye24xye的二阶偏导数及上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分定理如果函数(,)zfxy的两个二阶混合偏导数2zyx及2zxy在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？问题例如,对三元函数u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分例7验证函数22(,)lnuxyxy满足方程22220.uuxy证22221lnln(),2xyxy22,uxxxy22,uyyxy222222222222()2,()()uxyxxyxxxyxy222222222222()2.()()uxyyyxyyxyxy22220.uuxy上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分例8证明函数满足2222220.uuuxyz证22ux利用对称性,有2223513,uyyrr222222uuuxyzu方程31r43xrrx23513xrr2223513uzzrr2223533()xyzrr2r0上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分三、全微分如果函数(,)zfxy在点(,)xy的某邻域内有定义，并设(,)Pxxyy为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差(,)(,)fxxyyfxy为函数在点P对应于自变量增量,xy的全增量，记为z，即z(,)(,)fxxyyfxy全增量上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分定义2如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可表示成(),zAxByo其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数(,)fxy在点(x,y)的全微分,记作dzdfAxBy若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，的全增量则称此函数在D内可微.AxBy上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分定理2如果函数(,)zfxy在点(,)xy可微,则函数在该点连续.证(),zAxByo0lim0,z00lim(,)xyfxxyy0lim[(,)]fxyz(,)fxy所以函数(,)zfxy在点(,)xy处连续.“可微”与“连续”的关系？上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分“可微”与“偏导数存在”的关系？定理3（可微的必要条件）如果函数(,)zfxy在点(,)xy可微分，则该函数在点(,)xy的偏导数zx、zy必存在，且函数(,)zfxy在点(,)xy的全微分为zzdzxyxy．上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分zx同样可证,zBy证由全增量公式0,y令()Axox得到对x的偏增量xxx因此有0limxxzxA上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分反例:函数(,)fxy易知(0,0)(0,0)0,xyff但[(0,0)(0,0)]xyzfxfy(),o注:定理3的逆定理不成立.22()()xyxy22()()xyxy0偏导数存在函数不一定可微!2222,0xyxyxy220,0xy因此,函数在点不可微.(0,0)上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分定理4(可微的充分条件)若函数,zzxy的偏导数(,)xy则函数在点连续，在该点可微.且zzdzdxdyxy全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.uuududxdydzxyz.例如,三元函数(,,)ufxyz的全微分为：上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分例9计算函数在点(2,1)处的全微分.解zx22,2(2,1)(2,1)zzeexy例10计算函数的全微分.解du1(cos)22ydyzy,xyyexyxeyzze上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分可知当*四、全微分在数值计算中的应用近似计算:由全微分定义(,)(,)()xyzfxyxfxyyo(,)fxxyy(,)(,)xyfxyxfxyy较小时,(,)(,)xyzdzfxyxfxyydz及有近似等式:(,)fxy(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分例11计算的近似值.解设(,)yfxyx,则(,)xfxy取1,2,xy则2.021.04(1.04,2.02)f120.0400.021.08(,)yfxy1,yyxlnyxx0.04,0.02xy上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分半径由20cm增大解已知V20,100,rh22201000.0520(1)V即受压后圆柱体体积减少了例12有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则2rhr2rh0.05,1rh3200(cm)高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.求此圆柱体上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）内容小结上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分思考练习(0,0)3,(0,0)1xyff,则（）(A)(C)(0,0)3dzdxdy(B)曲面在点(0,0,(0,0))f的法向量{3,1,1}为曲线在点(0,0,(0,0))f的切向量{1,0,3}为设函数在点附近有定义，且(0,0)上页下页返回§5.2二元函数的偏导数与全微分思考练习(D)曲线在点(0,0,(0,0))f的切向量{3,0,1}为答案（C）