定积分分部积分法

设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.定积分的分部积分公式推导,vuvuuv,)(babauvdxuv,bababadxvudxvuuv.bababavduuvudv一、分部积分公式例1211xxedx2211xxxeedx2212xeee2222eeeee◆定积分的分部积分法解原式21xxde已积出的部分要求值2402tanxxdx240sec1xxdx24400tan2xxdx24400tantan32xxxdx240lncos432x22ln4232定积分的分部积分法已积出的部分要求值解原式220cos212xxed22220011cos2cos2(2)22xxexxedx22011122sin2xeedx2222001111sin2sin2222xxeexxde220112sin2xexdex2201sin214xexdxe2203sin2xexdx解原式所以][][vdxuuvvduuvudvdxvubabababababa分部积分过程：解(4)例1计算xdxarcsin210解xdxarcsin210xxdxxarcsin]arcsin[210210)1(1121121621222102210xdxdxxx12312]1[122102x解xdxarcsin210xxdxxarcsin]arcsin[210210)1(1121121621222102210xdxdxxx12312]1[122102x解例2计算10dxex(5)][][vdxuuvvduuvudvdxvubabababababa分部积分过程：解10101022tttxxtdetdtedxe令2][222][2101010ttteedtete解10101022tttxxtdetdtedxe令解10101022tttxxtdetdtedxe令解10101022tttxxtdetdtedxe令2][222][2101010ttteedtete例2计算.arcsin210xdx解令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.12312则例3计算解.2cos140xxdx,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdxxdxtan24040tan21xxxdxtan214040secln218x.42ln8例4计算解.)2()1ln(102dxxx102)2()1ln(dxxx1021)1ln(xdx102)1ln(xx10)1ln(21xdx32lndxxx101121xx211110)2ln()1ln(32lnxx.3ln2ln35例5设求解21,sin)(xdtttxf.)(10dxxxf因为ttsin没有初等形式的原函数，无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法10)(dxxxf102)()(21xdxf102)(21xfx102)(21xdfx)1(21f102)(21dxxfx21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf10)(dxxxf)1(21f102)(21dxxfx102sin221dxxx1022sin21dxx102cos21x).11(cos21,0sin)1(11dtttf例6证明定积分公式2200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数证设,sin1xun,sinxdxdv,cossin)1(2xdxxndun,cosxvdxxxnxxInnn2202201cossin)1(cossinx2sin10dxxndxxnInnn22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(221nnInnI积分关于下标的递推公式nI4223nnInnI,直到下标减到0或1为止,214365223221202ImmmmIm,3254761222122112ImmmmIm),2,1(m,2200dxI,1sin201xdxI,221436522322122mmmmIm.325476122212212mmmmIm于是定积分的分部积分公式.bababavduuvudv二、小结（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题设)(xf在1,0上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求10)2(dxxfx.思考题解答10)2(dxxfx10)2(21xfxd1010)2(21)2(21dxxfxfx10)2(41)2(21xff)0()2(4125ff.2一、填空题：1、设n为正奇数，则20sinxdxn___________；2、设n为正偶数，则20cosxdxn=___________；3、dxxex10______________；4、exdxx1ln_____________；5、10arctanxdxx____________.二、计算下列定积分：1、edxx1)sin(ln；2、eedxx1ln；练习题3、0sin)(xdxxmJm，（m为自然数）4、01)1cos(sinxdxnxn.三、已知xxf2tan)(,求40)()(dxxfxf.四、若,0)(在xf连续，,1)(,2)0(ff证明：3sin])()([0xdxxfxf.一、1、!!!)!1(nn；2、2!!!)!1(nn；3、e21；4、)1(412e；5、23ln21)9341(.二、1、211cos1sinee；2、)11(2e；练习题答案3、为奇数为偶数1,531)1(642,2642)1(531)(2mmmmmmmJ；4、为正偶数时当为正奇数时当nnnn,!!!)!1(2,0；5、0.三、8.