10-2二重积分的计算法

*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法第十章如果积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy为曲顶柱体的体积．为底，以曲面的值等于以),(),(yxfzDdyxfD应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,a0xdzyx)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf得.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf如果积分区域为：,dyc).()(21yxy［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxDX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割.xy1例1改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图xy222xxy例2改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.原式102112),(yydxyxfdy.解积分区域如图xy211xyo221dy例3.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解法1.将D看作X–型区域,则:DI21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y–型区域,则:DIxyxd21dyyyx222121321d2yyy89y1xy2xy121x2xy21y机动目录上页下页返回结束例4.计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则机动目录上页下页返回结束例5（练习）求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx2xy2yx例6求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e例7求由下列曲面所围成的立体体积，yxz，xyz，1yx，0x，0y.解曲面围成的立体如图.,10yx,xyyx所求体积DdxyyxV)(1010)(xdyxyyxdx103])1(21)1([dxxxx.247所围立体在xoy面上的投影是例8（练习）求两个底面半径都是R的直立圆柱所围成的立体的体积.提示：建立坐标系只考虑第一卦限部分解：立体在第一卦限部分看成一个曲顶柱体，它的底为2222221{(,)0,0},DDxyyRxxRzRxVRxd它的顶为柱面于是222222100222021[]2()3168.3RRxDRVRxdRxdydxRxdxRVVR利用公式得，二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］设)(xf在]1,0[上连续，并设Adxxf10)(，求110)()(xdyyfxfdx.思考题1)(xdyyf不能直接积出,改变积分次序.令110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答则原式ydxyfxfdy010)()(.,)()(010xdyyfdxxf故110)()(2xdyyfdxxfIxdyyfdxxf010)()(])()[()(1010dyyfdxxfxx.)()(21010AdyyfdxxfAoDiirriirrriiiiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(,iiirr.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf二、利用极坐标系计算二重积分.)sin,cos()()(21rdrrrfdADo)(1r)(2rDrdrdrrf)sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图,).()(21r区域特征如图,).()(21r.)sin,cos()()(21rdrrrfdDrdrdrrf)sin,cos(AoD)(2r)(1rAoD)(r.)sin,cos()(0rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图,).(0rDrdrdrrf)sin,cos(Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfd极坐标系下区域的面积.Drdrd二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图).(0rDoA)(r,20例1写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx解在极坐标系下sincosryrx所以圆方程为1r,直线方程为cossin1r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd例2计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下D：ar0，20.dxdyeDyx22arrdred0202).1(2ae例3求广义积分02dxex.解}|),{(2221RyxyxD}2|),{(2222RyxyxD}0,0{yx}0,0|),{(RyRxyxS显然有21DSD,022yxe122DyxdxdyeSyxdxdye22.222Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又SyxdxdyeI22RyRxdyedxe0022;)(202Rxdxe1I122DyxdxdyeRrrdred0022);1(42Re同理2I222Dyxdxdye);1(422Re当R时,,41I,42I故当R时,,4I即20)(2dxex4,所求广义积分02dxex2.,21III);1(4)()1(4222220RRxRedxee例4计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解3261sin4rsin2rdxdyyxD)(2236sin4sin22rdrrd).32(15yyx422yyx22203yx03xy例5计算二重积分Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.解由对称性，可只考虑第一象限部分，注意：被积函数也要有对称性.Ddxdyyxyx2222)sin(412222)sin(Ddxdyyxyx210sin42rdrrrd.414DD1D例6.求球体被圆柱面xayx222所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVDcos2022d4arrra)322(3323aoxyza2机动目录上页下页返回结束二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）小结Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()()(21rdrrrfd.)sin,cos()(0rdrrrfd.)sin,cos()(020rdrrrfdbaxxfd)())((txtttfd)()]([定积分换元法*三、二重积分换元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(,),()1(一阶导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3)变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的,vuvuJdd),(ovuDoyxDT机动目录上页下页返回结束例8.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令,,xyvxyu则2,2uvyuvx),(),(vuyxJvuevuDdd211ee2yxDxoy2121212121xyxye,ddyx)(DDD2vvuvuuov机动目录上页下页返回结束ybx2yax2Doyxxqy2xpy2,,22yxvxyu例9.计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令Duvopqab则bvaqupD:D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd))((31abpq机动目录上页下页返回结束