曲线积分的计算法

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曲线积分的计算法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)转化定积分(1)选择积分变量用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终对弧长曲线积分的计算定理)()()()](),([),(,],[)(),()(),(),(,),(22dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意:;.1一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中yxyxf特殊情形.)(:)1(bxaxyL.)(1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL.)(:)2(dycyxL.)(1]),([),(2dyyyyfdsyxfdcL1.基本方法).(,sin,cos:,象限第椭圆求tbytaxLxydsIL解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincosdttbtattab222220cossincossinabduubaab222)cossin(2222tbtau令.)(3)(22bababaab例2.)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求xyLydsILxy42解dyyyI222)2(1.0例3)20(.,sin,cos:,的一段其中求kzayaxxyzdsI解dkaka222sincos20I.21222kaka例4.0,,22222zyxazyxdsxI为圆周其中求解由对称性,知.222dszdsydsxdszyxI)(31222故例1对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxPdttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(且特殊情形.)(:)1(baxxyyL,终点为起点为.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则.)(:)2(dcyyxxL,终点为起点为.]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL则例5计算,dd)2(Lyxxya其中L为摆线,)sin(ttax)cos1(tay上对应t从0到2的一段弧.提示:yxxyadd)2()cos1(tattad)cos1(ttattadsin)sin(tttadsin2π202dsinttta原式π202sincosttta2π2adsa32.323a),2(球面大圆周长dsa,dzzyx其中由平面y=z截球面22yx,12所得z从z轴正向看沿逆时针方向.提示:因在上有,1222yx故:txcostysin21)π20(tsin21tz原式=tttdsincosπ2022221tttd2π022221)cos1(cos42π21432π21216π2曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域例6计算(1)选择积分变量—代入曲面方程—把曲面积分域投影到相关坐标面定理:设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),,(:f(x,y,z)在上连续,则曲面积分Szyxfd),,(存在,且有Szyxfd),,(yxDyxf),,(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122例7计算dszyx)(,其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.解积分曲面:yz5,dxdyzzdSyx221dxdy2)1(01,2dxdydszyx)(故xyDdxdyyyx)5(2投影域:}25|),{(22yxyxDxyxyDdxdyx)5(2rdrrd5020)cos5(2.2125对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号例8.计算曲面积分,ddyxxyz其中为球面2x122zy122zy外侧在第一和第五卦限部分.解:把分为上下两部分2211:yxz2221:yxz对面积的曲面积分的计算法例91ddyxzyx0,01:),(22yxyxDyxyxdydzxz)(2dsxzcos)(2dxdyxzcoscos)(2有上在曲面,.11cos,1cos2222yxyxxdxdyzxxzzdxdydydzxz]))([()(22xyDdxdyyxxxyx)}(21)(])(41{[2222xyDdxdyyxx)](21[2222022220)21cos(rdrrrd.8yxzyxdd2ddyxzyxyxDyxyxyxdd1222221cossin2rryxDddrr20d2sinrrrd12103152计算zdxdydydzxz)(2,其中Σ是旋转抛物面)(2122yxz介于平面0z及2z之间的部分的下侧.解

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