二重积分的计算与应用研究

二重积分的计算与应用研究I学号14051103学年论文论文题目：二重积分的计算与应用研究院（系）名称：信息工程学院专业名称：数学与应用数学专业学生姓名：丁乾龙指导教师：王君（讲师）哈尔滨学院2017年9月二重积分的计算与应用研究II学号14051103密级公开二重积分的计算与应用研究DoubleIntegralCalculationandItsApplication学生姓名：丁乾龙所在学院：信息工程学院所在专业：数学与应用数学指导教师：王君职称：讲师所在单位：哈尔滨学院论文提交日期：2017年08月25日论文答辩日期：学位授予单位：二重积分的计算与应用研究III目录摘要........................................................................................................................................IVABSTRACT.............................................................................................................................V前言..........................................................................................................................................1第1章绪论..............................................................................................................................21.1选题背景..............................................................................................................21.2选题意义..............................................................................................................21.3研究现状..............................................................................................................21.4研究思路..............................................................................................................3第2章二重积分的基本计算方法..........................................................................................42.1二重积分的定义与性质......................................................................................42.2利用直角坐标系计算二重积分..........................................................................52.3利用变量替换法计算二重积分..........................................................................72.4利用极坐标系计算二重积分..............................................................................9第3章特殊二重积分的计算技巧........................................................................................123.1利用函数奇偶性与区域对称性计算................................................................123.2利用格林公式计算............................................................................................133.3利用轮换法计算................................................................................................143.4利用二重积分的几何意义计算........................................................................14结论........................................................................................................................................18参考文献..................................................................................................................................19二重积分的计算与应用研究IV摘要二重积分在现实中有着广泛的应用，二重积分可用于求解空间立体体积和曲面面积。在物理力学中，二重积分也有着不可代替的作用。本文给出二重积分的概念及基本性质，在此基础上总结了二重积分的七种比较常见的计算方法与计算技巧：利用直接坐标系计算、利用变量特换法计算、利用极坐标系计算、利用函数的奇偶性和区域对称性计算、利用格林公式计算、利用轮换法计算、利用二重积分的几何意义计算，还研究了一些二重积分在物理力学、计算空间立体体积、计算曲面面积、计算曲线积分和曲面积分等方面的应用问题。关键词：二重积分；计算方法；计算技巧二重积分的计算与应用研究VABSTRACTThedoubleintegraliswidelyusedinpractice,thedoubleintegralcanbeusedtosolvethethree-dimensionalvolumeandsurfacearea.Inmechanics,thedoubleintegralalsohasanirreplaceablerole.Thispapergivestheconceptandnatureofthedoubleintegral,onthebasisofsummingupthesevencommoncalculationmethodofdoubleintegralandcalculationskills:usingdirectcoordinatesystemtocalculate,usingvariablereplacementmethodtocalculate,usingthepolarcoordinatetocalculate,usingfunctionandregionalsymmetrytocalculate,usingtheparityofgreenformulatocalculate,usingthemethodofrotationtocalculate,usingthegeometricmeaningofdoubleintegraltocalculate,alsostudiesonsomepracticalproblemsaboutthedoubleintegralsuchasphysicalmechanics,calculationofthree-dimensionalvolume,surfaceareacalculation,thecalculationofcurvilinearintegralandsurfaceintegral.Keywords:doubleintegral；computationalmethods；computationalskills；二重积分的计算与应用研究1前言二重积分是《数学分析》中的重要内容，它上承接着定积分，下引出三重积分和曲线积分、曲面积分.它在几何、物理、经济学等多个科学都有极其广泛的应用.函数的二重积分是《数学分析》中的重要内容，它涉及到多个科学领域，并起着至关重要的作用.然而在计算函数二重积分的过程中，由于计算和函数比较繁琐，因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限.计算机的广泛应用，特别是MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为二重积分的发展和应用开辟了广阔的前景.然而计算函数二重积分往往比较复杂和繁琐，因此，研究二重积分的计算不仅很有必要，而且不断寻找简便的算法仍然是二重积计算方面的重要课题.二重积分的计算与应用研究2第1章绪论1.1选题背景对于二重积分的应用主要体现在求曲线积分，曲面积分，曲面面积和物理学中的一些平面薄板的重心坐标，转动惯量以及对质点的引力等问题，利用二重积分可以巧妙解决这些问题，因此二重积分的计算与应用在物理学当中，尤其是在数学分析里是一门不可缺少的重要知识。1.2选题意义二重积分的计算和应用研究在高等数学研究中具有重要意义，对于二重积分的研究不仅仅体现在理论上，与其相关的几何模型和物理模型也在被讨论研究.二重积分的研究虽然以前也有不少人研究过，但多数人只是理论上研究，在实际应用中的研究还比较少，比如在求物体的重心，以及引力等，甚至经济学中方面相关深入的研究比较狭窄[4].在有些应用当中，我们会遇到一些二重积分基本运算问题，即在给定的被积函数和积分区域比较特殊时，计算二重积分，此时计算量就会很大.因此，不断寻找简便的算法便成为二重积分运算方面的重要课题。1.3研究现状采用层进式教学法可以由浅入深的让学生轻松掌握这种积分的算法.是高等数学的重点，也是难点，计算较为繁琐，有的二重积分需要一定的技巧才能求出，二重积分的计算方法主要是在极坐标系和直角坐标系下将二重积分化为二次积分，进而要利用两次定积分计算此二重积分，但是某些二重积分化为二次积分后计算仍相当困难，这时，我们就要采用特殊的算法计算。文献[1]介绍了二重积分的发展及其相关应用；[2]~[15]主要介绍了二重积分的一些计算方法和相关性质定理；[16]~[26]主要介绍了一些二重积分在力学方面的一些应用.郑兆顺探究了直角坐标系下二重积分的计算；曹毅探究了利用变量替换与极坐标系下二重积分的计算；李娟探究了利用函数的奇偶性和积分区域的对称性简化二重积分的计算；赵赫探究了利用格林公式来计算二重积分，本文在此基础上还探究了一下利用轮换法，格林公式，二重积分的几何意义来计算一些特殊的二重积分[9]~[13].二重积分的计算与应用研究31.4选题意义通过查看图书与学校电子阅览室里的有关二重积分计算的资料，最终分析决定主要研究以下几个方面：（1）二重积分的基本计算方法；（2）二重积分的特殊计算方法；（3）二重积分的应用.根据被积函数和积分区域的不同特征熟练采用不同的计算方法求二重积分.上述介绍的几种方法不一定全是最简单的，也不是独立存在的，有时还需要相互配合使用.总之，在二重积分计算过程中要充分运用被