定积分的应用

1图1-1abOy=f(x)xy图1-2a=x0x1x2xi-1xixn-1xn=biOn12y=f(x)xy定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。1定积分的概念的提出1.1问题的提出曲边梯形的面积（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线ax、bx（ba），x轴及连续曲线)(xfy（0)(xf）所围成的图形。其中x轴上区间],[ba称为底边，曲线)(xfy称为曲边。不妨假定0)(xf，下面来求曲边梯形的面积。由于cxf)(（],[bax）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点],[,21baxx，12xx很小时，)(1xf，)(2xf间的图形变化不大，即点1x、点2x处高度差别不大。于是可用如下方法求曲边梯形的面积。（1）分割用直线1xx，2xx，1nxx（bxxxan121）将整个曲边梯形任意分割成n个小曲边梯形，区间上分点为：bxxxxxann1210这里取0xa，nxb。区间],[ba被分割成n个小2区间],[1iixx，用ix表示小区间],[1iixx的长度，iS表示第i块曲边梯形的面积，),,2,1(ni，整个曲边梯形的面积S等于n个小曲边梯形的面积之和，即niiSS1（2）近似代替:对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度ix很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第i个小区间],[1iixx上任取一点i，用以],[1iixx为底，)(if为高的小矩形面积iixf)(，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-1），即iiixfS)(.（3）求和整个曲边梯形面积的近似值为n个小矩形面积之和，即nSSSS21nnxfxfxf)()()(2211iniixf)(1上式由于分割不同，i选取不同是不一样的，即近似值与分割及i选取有关（图1－2）。（4）取极限将分割不断加细，每个小曲边梯形底边长趋于零，它的高度改变量趋于零，曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近，从而和式niiixf1)(的极限就定义为曲边梯形面积的精确值。令},,,max{21nxxx，当0时，有niiixfS10)(lim上面的例子，最终归结为一个特定的形式和式逼近。在科学技术中还有许多同样的数学问题，解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割，近似求和，取极限”这是定积分概念的背景。1.2定积分的定义设函数)(xfy在区间],[ba上有界，在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann12103把],[ba分成n个小区间：],,[10xx],[,],,[,],,[],,[113221nniixxxxxxxx各个小区间的长度依次为：011xxx,122xxx,…,1nnnxxx在每个小区间],[1iixx上任取一点i)(1iiixx，作函数值与小区间长度ix的乘积iixf)(。并作和Sniiixf1)(记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba怎样分割，也不管在小区间],[1iixx上点i（ni,,2,1）怎样取法，只要当0时，和S总是趋于确定的极限I，我们称这个极限值为函数)(xf在区间],[ba上的定积分（简称为积分），记作badxxf)(，即badxxf)(Iniiixf10)(lim（1）其中)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，a称为积分下限，b称为积分上限，x称为积分变量，niiixf1)(称为积分和。（1）曲边梯形的面积是曲边方程)(xfy在区间],[ba上的定积分。即Sbadxxf)()0)((xf2定积分在几何学上的应用2.1定积分在平面几何中的应用在初高中我们学习过求圆，三角形，平四边形，梯形等比较规则的图形面积，然而对于不规则的图形就无能为力了，所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积，部分稍复杂的图形，可能用有限个简单图形的分割也能求出来，但有很大的局限性，定积分的出现为这些问题，提出了很好的解决条件。一般地，由上、下两条连续曲线y=2f(x)与y=1f(x)以及两条直线x=a与x=b(ab)所围成的平面图形，它的面积计算公式为21[()()]baAfxfxdx（1）4例求由抛物线2yx与x-2y-3=0所围成平面图形的面积A解该平面图形如图3所示，先求出直线与抛物线交点P(1,-1)与Q(9,3).用X=1把图形分成左，右两部分，应用公式（1）分别求得它们的面积为11100[(-)]24/3,Axxdxxdx921328()23Axxdx.A=1A+2A=32/3。2.2定积分在立体几何中的应用2.2.1由截面面积函数求立方体体积设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x轴的两平面x=a与x=b之间（ab）.为了方便起见称为位于[a,b]上的立方体。若在任意一点x[a,b]处作垂直于x轴的平面，它截得的截面面积显然是x的函数，记得A(x),x[a,b],并称之为的截面面积函数。则通过定积分的定义，得到由截面面积函数求立方体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式V=()baAxdx。例求由椭球面2222221xyzabc所围立体（椭球）的体积。解以平面00()xxxa截椭球面，得椭圆（它在yoz平面上的正投影）：22222200221(1)(1)yzxxbcaa。所以截面面积函数为A(x)=22(1)xbca,x[-a,a].于是求得椭球体积V=224(1)3baxbcdxabca。显然，当a=b=c=r时，这就等于球的体积433r。2.2.2旋转曲面的面积设平面光滑曲线C的方程为y=()fx,x[a,b](不妨设f(x)=0).这段曲线绕x轴pQ图2-15旋转一周得到旋转曲面，则面积公式s=2'2()1()bafxfxdx。如果光滑曲线C由参数方程x=x(t),y=y(t),t[,]给出，且y(t)0,那么由弧微分知识推知曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为S=22()'()'()ytxtytdt.例计算圆2x+2y=2R在[1x,2x][-R,R]上的弧段绕x轴旋转所得球带的面积。解对曲线y=22Rx在区间[1x,2x]上应用公式（3），得到S=221222221xxxRxdxRx=2R(21xx)。特别当1x=-R,2x=R时，则得球的表面积S球=42R.3定积分在经济学中的应用3.1求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间[,]ab上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]ab上的定积分：()()()baRbRaRxdx（1）()()()baCbCaCxdx（2）()()()baLbLaLxdx（3）例已知某商品边际收入为0.0825x（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量x从250t增加到300t时销售收入()Rx，总成本C()x，利润()Ix的改变量（增量）。解首先求边际利润()()()0.082550.0820LxRxCxxx所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()RRRxdx300250(0.0825)xdx=15300300250250(300)(250)()CCCxdxdx=250万元300300250250(300)(250)()(0.0820)LLLxdxxdx=100万元例某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本C的变化率（即边际成本）是日6产量x的函数xxC257)(，已知固定成本为1000元，求总成本函数y.解因总成本是边际成本的一个原函数，所以)(xCdxx)257(cxx507已知当0x时，1000)0(C，代入上式得1000c，于是总成本函数为)(xC1000507xx例某产品销售总收入是销售量x的函数)(xR。已知销售总收入对销售量的变化率（即边际收入）xxR52300)(，求销售量由100增加到400时所得的销售收入.解因销售收入是边际收入的一个原函数，按题意，有)300()400(RR400300)(dxxR400300)52300(dxx4003002)51300(xx16000（元）3.2求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为()ft，则称2121()ttftdttt为该经济函数在时间间隔21[,]tt内的平均变化率。例某银行的利息连续计算，利息率是时间t（单位：年）的函数：()0.080.015rtt。求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。解由于2200()(0.080.015)rtdttdt200.160.010.160.022tt所以开始2年的平均利息率为720()0.080.01220rtdtr0.094例某公司运行t（年）所获利润为()Lt（元）利润的年变化率为5()3101Ltt（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解由于38855852333()3101210(1)3810Ltdttdtt所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083Ltdt（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610元。3.3由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t（年）时的收入为()ft（万元），年利率为r，即贴现率是()rtfte，则应用定积分计算，该项目在时间区间[,]ab上总贴现值的增量为()brtaftendt。设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为a（万元）年利率为r，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式0TrtaedtA成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。例某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。解这里1000A，200a，0.08r，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为0.080.080.08002002002500(1)0.08TttTTedtee令0.082500(1)Te=1000，即得该工程回收期为110001ln(1)ln0.60.0825000.08T=6.39（年）83.4利润、产量与开工时数的最佳值的确定例1某厂生产一种产品，年产量为x吨时，总费用的变化率（即边际费用）为)(xf825.0x（单位：百元/吨），这种产品每吨的销售价为3000元，问一年生产多少产品工厂利润最大，并求出年利润的最大值.解总费用是边际费用的原函数，故)(xCxdxx0)825.0(xx8125.02而收入函数)(xRx30（百元），又由)(xL＝)(x