复变函数与积分变换课件6.3 分式线性映射

1第六章共形映射§6.3分式线性映射§6.3分式线性映射一、分式线性映射的一般形式二、分式线性映射的分解三、保形性四、保圆性五、保对称点性六、唯一决定分式线性映射的条件七、两个典型区域间的映射2第六章共形映射§6.3分式线性映射一、分式线性映射的一般形式定义(为复数且)dzcbzawdbca由分式线性函数dcba,,,构成的映射，称为分式线性映射；特别地，若,0c则称为(整式)线性映射。(2)分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射：(1)两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射；注3第六章共形映射§6.3分式线性映射二、分式线性映射的分解分析分式线性函数可改写为：dzcbzawdzcbczcacw10c(1)当时，(2)当时，0c;1dzccdabccadzcbcaddzcac)(1.)(abzdadbzaw4第六章共形映射§6.3分式线性映射二、分式线性映射的分解分析因此，一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种最简单的分式线性映射复合而成。,bzw(1)(b为复数)；,0ezwi(2)(为实数)；0,zrw(3)(r为正数)；复合成(整式)线性映射。在后面的讨论中，有时会根据需要，只对(整式)线性映射和第(4)种映射分别进行讨论。复合成分式线性映射。(4).wz15第六章共形映射§6.3分式线性映射二、分式线性映射的分解1.平移映射,bzw(b为复数),viuw,21bibb,yixz令,1bxu.2byv则有向量的方向平移一段距离.b||b它将点集(点曲线区域等)沿着、、下面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化，将w平面与z平面放在同一个平面上。6第六章共形映射§6.3分式线性映射二、分式线性映射的分解2.旋转映射旋转一个角度.0它将点集(点曲线区域等)、、,0ezwi(为实数)0令,||eizz则有.||)(0eizw当时，沿逆时针旋转；00当时，沿顺时针旋转。007第六章共形映射§6.3分式线性映射二、分式线性映射的分解3.相似映射其特点是保持点的辐角不变，,zrw(r为正数)令,||eizz则有.||eizrw但模扩大(或缩小)r倍。它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r倍。特别适合于过原点(或含原点)的曲线或区域。8第六章共形映射§6.3分式线性映射单位圆外(或内)，且辐角反号。二、分式线性映射的分解4.反演(或倒数)映射它将单位圆内(或外)的点映射到令,||eizzwz1则有.)(eiw||z1如图，反演(或倒数)映射通常还可以分为两步来完成：(1)将映射为z,1w满足,||1w||z1;argarg1zw(2)将映射为1w,w满足,||||1ww.argarg1ww9第六章共形映射§6.3分式线性映射二、分式线性映射的分解圆周对称的概念定义设某圆周C的半径为R，则称A和A,B两点位于从圆心O5.两个特殊的对称映射自然地，规定圆心O与无穷远点关于该圆周对称。CBAROB是关于圆周C对称的。出发的射线上(如图)，且,2ROBOATP145定义6.310第六章共形映射§6.3分式线性映射二、分式线性映射的分解5.两个特殊的对称映射(1)关于单位圆周的对称映射wz1令,||eizz则有.eiw||z1,||w||z1;argargzw即(2)关于实轴的对称映射zw令,||eizz则有.||)(eizw,||||zw.argargzw即zwzz11第六章共形映射§6.3分式线性映射二、分式线性映射的分解5.两个特殊的对称映射(1)关于单位圆周的对称映射wz1(2)关于实轴的对称映射zwzw共形映射来使用。注意上述两个映射并不是解析的，因此它们不能单独地作为映射的变化过程。;z1.w,wz1即其主要作用是为了能更好地看清倒数12第六章共形映射§6.3分式线性映射解izzw2iziiz222izi22.1222eiziπz1ziz平移2z1z1倒数3z22eziπ旋转4z32z相似w24z平移比如0z;0w(1)iz;1w(2)2ii211i2i1iP43例6.513第六章共形映射§6.3分式线性映射则点对应于点z.0记为,)(因此，函数在无穷远点的性态可由)(zfz函数在原点的性态来刻画。)(0三、保形性为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行某些技术处理和补充说明。z1令,即,z1则“认为”函数在无穷远点也解析。)(zfz比如若函数在原点解析，)(0(1)对于函数,)(zffzf)(1则有思想(回顾)其思想已在§5.2节中介绍过。14第六章共形映射§6.3分式线性映射则点对应于点z.0三、保形性为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行某些技术处理和补充说明。z1令,即,z1思想(回顾)其思想已在§5.2节中介绍过。曲线在无穷远点的性态可由Cz像曲线在原点的性态来刻画。Γ0比如z平面上两曲线在无穷远点的交角，(2)对于平面上过无穷远点的曲线C，zz它们在映射下的像曲线在原点的交角。z1同样有可定义为15第六章共形映射§6.3分式线性映射三、保形性1.倒数映射的保形性wz1由此，倒数映射在扩充复平面上是双方单值的。(1)当且时，z0z单值性当时，当时，z0z.w;0w规定：解析性函数解析，且wz121zdzdw.0(2)当时，z令,z1则)(w,函数在处解析，且1)0(.00)(倒数映射在扩充复平面上除外是共形映射。wz10z16第六章共形映射§6.3分式线性映射三、保形性1.倒数映射的保形性wz1倒数映射在扩充复平面上除外是共形映射。wz10z映射在w扩充复平面上除外是共形映射。zw10w同理，映射在处是共形映射，zw1w特别有，倒数映射在处是共形映射。wz10z结论倒数映射在扩充复平面上是共形映射。wz1由此即得：17第六章共形映射§6.3分式线性映射三、保形性1.倒数映射的保形性wz1由此，线性映射在扩充复平面上是双方单值的。当时，z单值性当时，z.w规定：解析性2.线性映射的保形性)0(,abzaw函数解析，且adzdw.0bzaw线性映射在扩充复平面上除外是共形映射。zbzaw(结论同上,跳过?)18第六章共形映射§6.3分式线性映射三、保形性1.倒数映射的保形性wz12.线性映射的保形性)0(,abzaw线性映射在扩充复平面上除外是共形映射。zbzaw当时，z令,z1,w1函数在处解析，且)0(,00)(a1则,)(ab,w1;0)0(且当时，0因此，0)(映射在处是共形映射,19第六章共形映射§6.3分式线性映射三、保形性1.倒数映射的保形性wz12.线性映射的保形性)0(,abzaw线性映射在扩充复平面上除外是共形映射。zbzaw当时，z令,z1则,)(ab,w1,w1映射在处是共形映射,0)(;0)0(且又映射在处也是共形映射，0w1线性映射在处是共形映射。zbzaw结论线性映射在扩充复平面上是共形映射。bzaw即得：20第六章共形映射§6.3分式线性映射三、保形性1.倒数映射的保形性wz12.线性映射的保形性)0(,abzaw3.分式线性映射的保形性由于分式线性映射可分解为线性映射和倒数映射的复合，因此就得到了如下定理。定理分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。注意该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射，而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。P146定理6.521第六章共形映射§6.3分式线性映射四、保圆性1.倒数映射的保圆性wz1分析,0)(22dycxbyxa,0)(22avcubvud令,viuw,yixzviuyix1由有zw1,2222vuvivuu.22vuvy,22vuux(A)将(A)式代入，即得到其像曲线所满足的方程为：(当时为直线)，0a(当时为直线)。0d对于平面上一个任意给定的圆：z22第六章共形映射§6.3分式线性映射四、保圆性1.倒数映射的保圆性wz12.线性映射的保圆性)0(,abzaw由于这三种映射显然将圆仍然映射为圆，线性映射可分解为平移映射旋转映射和相似映射的复合,、3.分式线性映射的保圆性约定将直线看作是半径为无穷大的圆。将圆映射为圆。因此线性映射能P147定理6.623第六章共形映射§6.3分式线性映射四、保圆性3.分式线性映射的保圆性定理在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。约定将直线看作是半径为无穷大的圆。(1)如果给定的圆(或直线)上没有点映射成无穷远点，注则它就映射成半径有限的圆；(2)如果给定的圆(或直线)上有一点映射成无穷远点，则它就映射成直线；(精彩之处)！(3)对称映射和也具有保圆性。wz1zw24第六章共形映射§6.3分式线性映射四、保圆性在分式线性映射下，求圆(或圆弧段)的像曲线的方法方法一分解为四种简单映射的复合。方法二利用保圆性，选三点定圆。对于圆弧段(或直线段)，两个端点必须选定。方法三综合利用保圆性与保角性。(1)找出原像曲线中的一些“特殊点”所对应的像点，从而能够大致地确定出像曲线的位置。(2)找出一些“特殊曲线”(如坐标轴等)所对应的像。(3)由原像之间的关系(如夹角等)确定像之间的关系。25第六章共形映射§6.3分式线性映射解方法一分解为四种简单映射.1222eizwiπz1z2z3z4zwiz32z24z22eziπ1z1平移倒数旋转相似平移iz平移1z1倒数32z相似24z平移22eziπ旋转ii21121i2P147例6.6修改26第六章共形映射§6.3分式线性映射解方法二利用保圆性，直接三点定圆i1i1i52562找三点i2i1i21232另找三点i12i1i2(不是蛮好直接定圆)(可以了，Ok了)27第六章共形映射§6.3分式线性映射解方法三借助特殊点和特殊曲线(3)由于和在点正交，CC~iz(1)特殊点故和在点正交；ΓΓ~1w故其像曲线是经过两点的圆(或直线)；2,1Γ,~C将虚轴记为在直线C上取两点和i,,2,1,i由于(2)特殊线则其像曲线为实轴；Γ~CC~iΓ~Γ21(?)28第六章共形映射§6.3分式线性映射解首先作一个简单的定性分析(3)由于被映射为被映射为0，,ii被映射为从原点出发且相互垂直的两条射线。(1)区域D的边界和是圆弧段，1C2C且和的交角为90度；1C2C(2)由于所给的映射为分式线性映射，因此具有保圆性与保角性；1221i1i11C2C因此圆弧和1C2CP148例6.729第六章共形映射§6.3分式线性映射1221ii1C2C解方法一利用保圆性，直接三点定圆12ii1C21ii)1(ia0)1(ia02C.1)12()12(22a其中1Γ2Γ112Γ1Γ30第六章共形映射§6.3分式线性映射1221ii1C2C2Γ解方法二利用保圆性，保角性12ii)1(ia01C(1)1Γ(2)由和在点正交，1C2Ciz(3)由顺时针旋转90度到，1C2C知和在点正交；1Γ2Γ0w(保大小)知顺时针旋转90度到。1Γ2Γ(保方向)111Γ31第六章共形映射§6