高斯积分

高斯积分•在进行有限元分析时，一般需要大量的数值积分，通常都是通过坐标变换把被积函数全部化为局部坐标的函数。经过这样的变换，计算将会变得简单。•若被积函数不是多项式函数，比如采用等参单元就是这样，此时就需要求助于数值积分，在有限元分析中，经常采用的就是高斯数值积分。•对于积分区间[a,b]，通过变换•可化为区间[-1,1]所求积分则化为：•不失一般性，取a=-1，b=1，讨论区间[-1,1]上的积分即可，则有•其中为权函数22abbaxdabbafabxfba)22(2)(11niiixfwxf011-)()(iw求积公式的代数精度最高不超2n-1次。证明：分别取f(x)=1,x，x2，...xn时代入公式，并让其成为等式得A1+A2+……+An=∫ab1dx.=b-ax1A1+x2A2+……+xnAn=∫abxdx.=（b2-a2)/2......x1rA1+x2rA2+……+xnrAn=∫abxrdxr=(br+1-ar+1)/(r+1)上式共有r个等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程组中方程的个数等于变元的个数,即r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1.[如果事先已选定[a，b]中求积节点xk如下ax1…xnb,上式成为n个未知数A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n时方程组有唯一解]niiixfwxf011-)()(事实上,取2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2代入求积公式,有左=右==0左右,故不成立等式,定理得证.定义:使求积公式达到最高代数精度2n-1的求积公式称为Guass求积公式Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数.因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论:插值型求积公式的代数精度d满足：n-1d2n-1baodxxgx)()(nkkkxgA1)(niiixfwxf011-)()(定理:若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的.•Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk,Guass系数Ak都有表可以查询.dxxwxnfRbannn)()()!2()(2)2(Gauss-Legendre求积公式其中高斯点为Legendre多项式的零点Ln(x)=对于一般有限区间[a,b]，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成为[-1,1]。111)()(nkkkxfAdxxfnnnndxxdn)1(!212nxk(n)Ak(n)Rn1022-0.57735031+0.577350313-0.77459675/9=0.5555556+0.77459675/9=0.555555608/9=0.88888894-0.86113630.3478548-0.33998100.6521452+0.33998100.6521452+0.86113630.34785485-0.90617990.2369269-0.53846930.478628700.5688889+0.53846930.4786287+0.90617990.2369269)(157501)6(f3472875)()8(f1237732650)()10(fGauss-Legendre点及系数表)(31f)(1351)4(f例题：利用高斯求积公式计算［解］令x=1/2(1+t),则用高斯-Legendre求积公式计算.取n=5积分精确值为I=ln2=0.69314718…由此可见，高斯公式精确度是很高的101xdx111031tdtxdxI)5(5)5(5)5(2)5(2)5(1)5(1313131tAtAtAI69314719.02.Gauss-Chebyshev求积公式其中高斯点为Chebyshev多项式Tn(x)的零点Tn(x)=cos(narccos(x))1112)(1)(nkkkxfAdxxxfnAnkxkk,2)12(cos3.Gauss-Laguerre求积公式4.Gauss-Hermite求积公式01)()(nkkkxxfAdxxfenkkkxfAdxxfxe1)()(2