§2.3,4卷积积分及其性质

信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-1页■电子教案§2.3卷积积分•信号的时域分解与卷积积分•卷积的图解法信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-2页■电子教案2.3卷积积分2.3卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1.信号的时域分解(1)预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问f1(t)=?p(t)直观看出1()A()ftpt信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-3页■电子教案2.3卷积积分(2)任意信号分解22f(t)t023-1012……)(ˆtff(0))(f)(f“0”号脉冲高度f(0),宽度为△，用p(t)表示为：f(0)△p(t)“1”号脉冲高度f(△),宽度为△，用p(t-△)表示为：f(△)△p(t-△)“-1”号脉冲高度f(-△)、宽度为△，用p(t+△)表示为：nntpnftf)()()(ˆd)()()()(ˆlim0tftftff(-△)△p(t+△)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-4页■电子教案2.3卷积积分2.任意信号作用下的零状态响应LTI系统零状态yzs(t)f(t)根据h(t)的定义：δ(t)h(t)由时不变性：δ(t-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t-τ)由齐次性：f(τ)h(t-τ)由叠加性：d)()(tfd)()(thf‖f(t)‖yzs(t)()()()dzsytfhtttt¥-?=-ò卷积积分信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-5页■电子教案2.3卷积积分3.卷积积分的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分dtfftf)()()(21为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。()()()d()*()zsytfhtfthtttt¥-?=-=ò信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-6页■电子教案2.3卷积积分例：f(t)=et,（-∞t∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yzs(t)。解：采用定义法卷积。2()zsy(t)=f(t)*h(t)e[6e1]()dttttett¥---?=--ò当tτ，即τt时，ε(t-τ)=02()23()e[6e1]d(6eee)dttttzsyttttttt----??=-=-蝌tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-7页■电子教案2.3卷积积分用定义法计算卷积积分步骤：dtfftftf)()()(*)(2121（1）换元：f1(t)→f1(τ)，f2(t)→f2(t－τ)（2）视情况变积分限：f1(τ)f2(t-τ)中是否含有ε(τ)或ε(t－τ)，如果有ε(τ)，则将积分下限换为0，如果有ε(t－τ)，则将积分上限换为t(注意：t为参变量，τ为自变量)。（3）积分：与普通函数积分一致。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-8页■电子教案2.3卷积积分二、卷积的图解法dtfftftf)()()(*)(2121（1）换元：t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)，然后右移t→f2(t-τ)（3）乘积：f1(τ)f2(t-τ)（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t为参变量。用图解法计算卷积积分步骤：信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-9页■电子教案2.3卷积积分例：f(t),h(t)如图，求yzs(t)=f(t)*h(t)。解：采用图解法卷积。h(t-τ)h(τ)反折h(-τ)平移t①t0时,h(t-τ)向左移h(t-τ)f(τ)=0，故yzs(t)=0②0≤t≤1时,h(t-τ)向右移0211()d24tzsytttt=?ò③1≤t≤2时1111()d224ttzsytttt-=?-ò⑤3≤t时h(t-τ)f(τ)=0，故yzs(t)=0h(t)t0211tf(t)22ττττf(t)函数形式复杂换元为f(τ)。h(t)换元h(τ)t-1tt-1tt-1ttyzs(t)20134143tt-1tt-1④2≤t≤3时2121113()d2424ztsyttttt-=?-++ò0h(t－τ)h(－τ)2013τf(τ)h(t－τ)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-10页■电子教案2.3卷积积分图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？tf2(t)-1131-1f1(t)t2-22ττττf1(-τ)f1(2-τ)τf1(2-τ)f2(τ)22-2解：d)2()()2(12fff（1）换元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-11页■电子教案§2.4卷积积分的性质•卷积代数运算•与冲激函数或阶跃函数的卷积•微分积分性质•卷积的时移特性卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-12页■电子教案2.4卷积积分的性质下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。一、卷积代数满足乘法的三律：1.交换律：2.分配律：系统并联运算3.结合律：系统级联运算()()1212()()dftftfftttt+?-?*=?òt-τ=λ令，dd::，则()()()()122121()()dftftfftftftlll+?-?*=?=*ò证明：)()()()(1221tftftftf)()()()()]()([)(3121321tftftftftftftf)]()([)()()()(2121tftftftftftf信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-13页■电子教案系统并联ththth21系统并联，框图表示：)(ty)(tf)(th)(ty)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th∑1()()ftht*2()()ftht*12()()()()()()fthtfthtftht*+*=*结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。2.4卷积积分的性质信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-14页■电子教案系统级联)]()([)()()()(2121ththtfththtf)()(21ththth系统级联，框图表示：)(tf)(1th)(2th)(ty)()(1thtf)()()(21ththtf)(ty)(tf)(th结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。2.4卷积积分的性质信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-15页■电子教案2.4卷积积分的性质二、函数与冲激函数的卷积1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)证：)(d)()()(d)()()(*)()(d)()()(*)()(*)(tftfttfttftftftftttf为偶函数或f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)证：()*()()()d()()d()[()]()d[()]()xtftfttxfxxddxtxtfxxftft令t-＝是奇函数f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-16页■电子教案3.f(t)*ε(t)tftfd)(d)()(ε(t)*ε(t)=？2.4卷积积分的性质注意区分：()()(0)()tftftdd=tε(t))()()()(000tttftttf)0(d)()(fttft)(d)()(00tfttftt)0('d)()('fttft特例：()()(0)()(0)()fttftft00()()d()ttfttft信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-17页■电子教案2.4卷积积分的性质三、卷积的微积分性质1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121证：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.]d)([*)()(*]d)([d)](*)([212121tttftftffff证：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0和f2(–∞)=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-18页■电子教案2.4卷积积分的性质例1：f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)解：通常复杂函数放前面，代入定义式得f2(t)*f1(t)=1eded)(e00注意：套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0显然是错误的。例2：f1(t)如图,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t))()e1()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf1(t)t201解法一：f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=δ(t)–δ(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)例2:)()(thtf图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应如图(b)所示。求复合系统的冲激响应，并画出它的波形。thth21,thtth1O11tth2O112tthO1123(a)(b)解：112hthththt如图（c）所示th1th1th2tfty(c)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-20页■电子教案2.4卷积积分的性质解：f1(t)=ε(t)–ε(t–2)f1(t)*f2(t)=ε(t)*f2(t)–ε(t–2)*f2(t)ε(t)*f2(t)=f2(-1)(t)四、卷积的时移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)前例：f1(t)如图,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)f1(t)t201利用时移特性，有ε(t–2)*f2(t)=f2(-1)(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-21页■电子教案2.4卷积积分的性质例：f1(t)