有限元法基础-5等参元与数值积分

第五章等参元与数值积分5.1等参变换的概念5.2等参变换的条件和收敛性5.3数值积分方法5.4数值积分阶次的选择15.等参元与数值积分本章重点等参变化的概念和实现单元特性矩阵方法实现等参变换的条件和满足收敛准则的条件数值积分的基本思想和Gauss积分的特点单元刚度矩阵数值积分阶次的选择有限元法基础25.等参元与数值积分关键概念等(超、次)参变换雅克比矩阵和行列式等参变换的条件等参元的收敛性数值积分高斯积分精确积分减缩积分矩阵的秩零能模式有限元法基础35.1等参变换的概念将局部（自然）坐标中的简单几何形状的单元，转换成总体（物理）坐标中的几何扭曲的单元，必须建立一个坐标变换，即有限元法基础41234LxLyLzL或ff5.1等参变换的概念有限元法基础55.1等参变换的概念有限元法基础65.1等参变换的概念有限元法基础7规则化单元：母单元在自然坐标系内(局部)实际单元：子单元在总体坐标系内(整体)'''111mmmiiiiiiiiixNxyNyzNz利用节点坐标和形函数建立坐标变换关系111nnniiiiiiiiiuNuvNvwNw5.1等参变换的概念有限元法基础8等参变换坐标变换和场函数插值采用相同的节点，m=n,并且采用相同的插值函数。这样建立的单元，称为等参元。超参变换坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数，即mn。这样建立的单元，称为超参元。次参变换坐标变换的节点数少于场函数插值的节点数，即mn。这样建立的单元，称为次参元。5.1等参变换的概念有限元法基础9例：一维2节点单元222111iiiiiiiiixNxyNyzNz1(1)(1,2)2iiNi5.1等参变换的概念有限元法基础10例：二维3节点单元333111iiiiiiiiixNxyNyzNz[1,,]iN5.1等参变换的概念有限元法基础11例：平面4节点单元4411iiiiiixNxyNy1(1)(1)(1,2,3,4)4iiiNi5.1等参变换的概念有限元法基础12单元矩阵的变换等参变换单元矩阵的变化：等参变换单元矩阵的变化：B、K、dΩ、……5.1等参变换的概念有限元法基础13由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。000000iiiiiiiNxxNNNyyNNyxyxB5.1等参变换的概念有限元法基础141）导数之间的变换由复合函数求导规则有写成矩阵形式J称为Jacobi矩阵iiiiNNNNxyzxyziiiiiiiiiNxyzNNxxNNNxyzyyNxyzNNzzJ(,,)(,,)xyzJ5.1等参变换的概念有限元法基础151iiiiiiNNxNNyNNzJ1*1J=JJJ的伴随矩阵5.1等参变换的概念有限元法基础16由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素111111111nnniiiiiiiiinnniiiiiiiiinnniiiiiiiiiNNNxxxxxxNNNyyyyyyNNNzzzzzz5.1等参变换的概念有限元法基础172）体积微元的变换()dddddddJxyzddidjdkxyzddidjdkxyzddidjdk5.1等参变换的概念有限元法基础18单元刚度矩阵等效体积力111111eTTddddKBCBBCBJ111111eTFdddQNFJ5.1等参变换的概念有限元法基础193）面积微元的变换以为例，1xyzddidjdkxyzddidjdk0d1dAddAdd=1/2222yzyzZxzxxyxyA,,,,,,ijkddxyzddxyz5.1等参变换的概念有限元法基础20边界面力的变换以为例，10d1111eeTTAdAAddQNTNTeeTTdQNT5.1等参变换的概念有限元法基础214）对二维问题面元xyyxJ*yyxxJ=(,)(,)iiiiiiiiNxyNNNxyxxxNNNNxyyyyJddxdyddJ1/222xydd线元15.1等参变换的概念有限元法基础225）面积坐标[,,1]iN123,,1LLL3121231331212323iiiiiiiiiiiiNNNNLNNLLLLLLLNNNNLNNLLLLLLL2111200()()eLAddLdLJ2J直边三角形时：5.1等参变换的概念有限元法基础236）体积坐标[,,,1]iN1234,,,1LLLL31241234143124123424312412342iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiNNNNLNNNLLLLLLLLLNNNNLNNNLLLLLLLLLNNNNLNNNLLLLLLLLL4112111321000()()eLLLddLdLdLJ1(1,0,0)2(0,1,0)3(0,0,1)4(0,0,0)5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础24等参变换的条件等参变换中，需计算Jacobi矩阵的逆是否存在？存在的条件是(,,)0(,,)xyzJ1J这是两个坐标系间一对一变换的条件5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础25以二维情况为例说明1）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反，，顺序相同2）若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处sin(,)sindAdddddddd0J0J01800sin10J1存在J5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础26畸变单元举例节点1节点2节点3由于是连续函数，故在1-2边至到2-3边时必有一点，不具备等参变换条件。11sin0,0J22sin0,0J33sin0,0JJ0J5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础27畸变单元举例边1-2退化为一个节点在该点处，也不具备等参变换条件。实际计算单元刚度矩阵是用数值积分，并不会出现奇异性，应用中仍可使用；四边形退化为三角形单元的积分精度较差。0d0J5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础28等参单元的收敛性弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性：完备性：场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移和常应变。协调性：单元内部位移连续且满足几何方程，单元间的位移场是连续的。5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础29完备性设单元内任一点i的位移场为代入位移插值函数123412341234iiiiiiiiiiiiuxyzvxyzwxyz123411111123411111123411111nnnnniiiiiiiiiiiiiinnnnniiiiiiiiiiiiiinnnnniiiiiiiiiiiiiiuNuNNxNyNzvNvNNxNyNzwNwNNxNyNz5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础30注意到等参变换123411123411123411nniiiiinniiiiinniiiiiuNuNxyzvNvNxyzwNwNxyz111,,nnniiiiiiiiixNxyNyzNz5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础31只要123411234112341niiiniiiniiiuNuxyzvNvxyzwNwxyz11niiNNi满足形函数性质，完备性就得到满足，插值函数能够反映刚体位移和常应变。5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础32协调性单元间边界上的位移场：具有相同的节点和相同的节点数插值函数相同，有连续的位移场插值函数满足(,,)ijjjijN5.等参元与数值积分有限元法基础33练习题：1.什么是等参元满足有限元收敛准则的条件？同样条件可否适用于次参和超参单元？2.证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单元的Jacobi矩阵是常数矩阵。3.证明面积坐标的幂函数的积分公式。（提示：利用面积坐标之和等于1的关系消去被积函数中的一个坐标，并注意积分上下限设置。）5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础34有限元方程为单元刚度矩阵为Kq=QeeTdK=BCB5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础351）母单元为自然坐标系列坐标变换位移插值Jacobi矩阵应变的计算求B时需建立,,ee=Du=(DN)qBqeXN(,,)xeuN(,,)q1(,,),(,,)xyzJJ1TTxyzJ5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础36单元矩阵计算时1111111111111111(=1)eTeTFeTTddddddAdd作用在的面上K=BCBJQ=NFJQNTT=xyzxyzxyzJ1/2222yzyzzxzxxyxyA5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础372）母单元为体积坐标系列取L1、L2和L3为独