二阶常系数线性微分方程的解法word版

第八章8.4讲第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如)(xfqyypy(1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p、q均为实数,)(xf为已知的连续函数.如果0)(xf,则方程式(1)变成0qyypy(2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程.本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1如果函数1y与2y是式(2)的两个解,则2211yCyCy也是式(2)的解,其中21,CC是任意常数.证明因为1y与2y是方程(2)的解,所以有0111qyypy0222qyypy将2211yCyCy代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211yCyCqyCyCpyCyC=0)()(22221111qyypyCqyypyC所以2211yCyCy是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,CC两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21nyyy为定义在区间I内的n个函数,若存在不全为零的常数,,,,21nkkk使得当在该区间内有02211nnykykyk,则称这n个函数在区间I内线性相关,否则称线性无关.例如xx22sin,cos,1在实数范围内是线性相关的,因为0sincos122xx又如2,,1xx在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使02321xkxkk必须0321kkk.对两个函数的情形,若21yy常数,则1y,2y线性相关,若21yy常数,则1y,2y线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理2如果1y与2y是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(CCyCyCy为任意常数)是方程式(2)的通解.例如,0yy是二阶齐次线性方程,xyxycos,sin21是它的两个解,且xyytan21常数,即1y,2y线性无关,所以xCxCyCyCycossin212211(21,CC是任意常数)是方程0yy的通解.由于指数函数rxey(r为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxey来试着看能否选取适当的常数r,使rxey满足方程(2).将rxey求导,得rxrxeryrey2,把yyy,,代入方程(2),得0)(2rxeqprr因为0rxe,所以只有02qprr(3)只要r满足方程式(3),rxey就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中rr,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)yyy,,的系数.特征方程(3)的两个根为2422,1qppr,因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1)当042qp时，21,rr是两个不相等的实根.2421qppr,2422qpprxrxreyey2121,是方程(2)的两个特解,并且xrreyy)(2121常数,即1y与2y线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为xrxreCeCy2121(2)当042qp时,21,rr是两个相等的实根.221prr,这时只能得到方程(2)的一个特解xrey11,还需求出另一个解2y,且12yy常数,设)(12xuyy,即)(12xueyxr)2(),(21121211ururueyurueyxrxr.将222,,yyy代入方程(2),得0)()2(12111quurupururuexr整理,得0])()2([12111uqprrupruexr由于01xre,所以0)()2(1211uqprrupru因为1r是特征方程(3)的二重根,所以02,01121prqprr从而有0u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取xu,可得到方程(2)的另一个解xrxey12.那么,方程(2)的通解为xrxrxeCeCy1121即xrexCCy1)(21.(3)当042qp时,特征方程(3)有一对共轭复根irir21,(0)于是xixieyey)(2)(1,利用欧拉公式xixeixsincos把21,yy改写为)sin(cos)(1xixeeeeyxxixxi)sin(cos)(2xixeeeeyxxixxi21,yy之间成共轭关系,取1y=xeyyxcos)(2121,xeyyiyxsin)(2121_2方程(2)的解具有叠加性,所以1y,2y还是方程(2)的解,并且xxexeyyxxtancossin12常数,所以方程(2)的通解为)sincos(21xCxCeyx综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02qprr(2)求特征方程的两个根21,rr(3)根据21,rr的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.特征方程02qprr的两个根21,rr方程0qyypy的通解两个不相等的实根21rrxrxreCeCy2121两个相等的实根21rrxrexCCy1)(21一对共轭复根ir2,1)sincos(21xCxCeyx例1求方程052yyy的通解.解:所给方程的特征方程为0522rririr21,2121所求通解为)2sin2cos(21xCxCeyx.例2求方程0222SdtdSdtSd满足初始条件2,400ttSS的特解.解所给方程的特征方程为0122rr121rr通解为tetCCS)(21将初始条件40tS代入,得41C,于是tetCS)4(2,对其求导得tetCCS)4(22将初始条件20tS代入上式,得22C所求特解为tetS)24(例3求方程032yyy的通解.解所给方程的特征方程为0322rr其根为1,321rr所以原方程的通解为xxeCeCy231二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3设y是方程(1)的一个特解,Y是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则yYy是方程式(1)的通解.证明把yYy代入方程(1)的左端:)()()(yYqyYpyY=)()(qypyyqYYpY=)()(0xfxfyYy使方程(1)的两端恒等,所以yYy是方程(1)的解.定理4设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(xf是几个函数之和,如)()(21xfxfqyypy(4)而1y与2y分别是方程)(1xfqyypy与)(2xfqyypy的特解,那么21yy就是方程(4)的特解,非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(xPexfmx型的解法)()(xPexfmx,其中为常数,)(xPm是关于x的一个m次多项式.方程(1)的右端)(xf是多项式)(xPm与指数函数xe乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为xexQy)(,其中)(xQ是某个多项式函数.把xexQy)(xexQxQy)]()([xexQxQxQy)]()(2)([2代入方程(1)并消去xe,得)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm(5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(xQ的确定方法:(1)若不是方程式(2)的特征方程02qprr的根,即02qp,要使式(5)的两端恒等,可令)(xQ为另一个m次多项式)(xQm:mmmxbxbxbbxQ2210)(代入(5)式,并比较两端关于x同次幂的系数,就得到关于未知数mbbb,,,10的1m个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(mibi.从而得到所求方程的特解为xmexQy)((2)若是特征方程02qprr的单根,即02,02pqp,要使式(5)成立,则)(xQ必须要是m次多项式函数,于是令)()(xxQxQm用同样的方法来确定)(xQm的系数),,1,0(mibi.(3)若是特征方程02qprr的重根,即,02qp02p.要使(5)式成立,则)(xQ必须是一个m次多项式，可令)()(2xQxxQm用同样的方法来确定)(xQm的系数.综上所述,若方程式(1)中的xmexPxf)()(,则式(1)的特解为xmkexQxy)(其中)(xQm是与)(xPm同次多项式,k按不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4求方程xeyy232的一个特解.解)(xf是xmexp)(型,且2,3)(xPm对应齐次方程的特征方程为022rr,特征根根为2,021rr.=-2是特征方程的单根,令xexby20,代入原方程解得230b故所求特解为xxey223.例5求方程xexyy)1(2的通解.解先求对应齐次方程02yyy的通解.特征方程为0122rr,121rr齐次方程的通解为xexCCY)(21.再求所给方程的特解1)(,1xxPm由于1是特征方程的二重根,所以xebaxxy)(2把它代入所给方程,并约去xe得126xbax比较系数,得61a21b于是xexxy)216(2所给方程的通解为xexxxCCyyy)6121(32213.xBxAxfsincos)(型的解法,sincos)(xBxAxf其中A、B、均为常数.此时,方程式(1)成为xBxAqypysincos(7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解y也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sincos(xbxaxyk其中ba,为待定常数.k为一个整数.当i不是特征方程02qprr的根,k取0;当i不是特征方程02qprr的根,k取1;例6求方程xyyysin432的一个特解.解1，ii不是特征方程为0322rr的根，0k.因此原方程的特解形式为xbxaysincos于是xbxaycossinxbxaysincos将yyy,,代入原方程，得442024baba解得54,52ba原方程的特解为:xxysin54cos52例7求方程xeyyyxsin32的通解.解先求对应的齐次方程的通解Y.对应的齐次方程的特征方程为0322rr3,121rrxxeCeCY321再求非齐次方程的一个特解y.由于xexxf2cos5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1xexfxxfsin)(2的特解1y、2y,则21yyy是原方程的一个特解.由于1,ii均不是特征方程的根,故特解为)sincos(21xcxbaeyyyx代入原方程,得xexcbxcbaexxsinsin)42(cos)24