一阶微分方程解法

1§10.2一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为一阶方程的初值问题的数学模型为00(,,')0xxFxyyyy根据方程本身的特点，一阶方程又可分为：(,,')0Fxyy一阶微分方程是最简单的方程.求解的方法主要是采用初等解法,即把微分方程的求解问题化为积分问题.2一.变量可分离的方程形如f(y)dy=g(x)dx的一阶方程方程,称为变量已分离的方程.形如y’=f(x)g(y)的一阶方程方程,称为变量可分离的方程.设g(y)≠0,则方程可写成变量已分离的方程()()dyfxdxgy若函数f与g连续，则两边分别对x与y积分,得()()dyfxdxcgy就为变量可分离方程的通解.其中c为任意常数.3例2求方程y’=2xy的通解.12dyxdxy解分离变量,得两边积分，得于是原方程的通解为2lnlnyxc2xyce例3求方程cossincossinxydyyxdx的特解.满足初始条件解分离变量,得sinsincoscosyxdydxyx两边积分，得lncoslncoslnyxc于是原方程的通解为coscosycx04xy4又将初始条件故满足初始条件的特解为04xy代入通解中,得22c22coscosyx例4已知需求价格弹性为η=-1/Q2,且当Q=0时,p=100.试求价格p与需求Q的函数关系p=f(Q).解由需求价格弹性的定义,有21pdQQdpQ这是变量可分离的方程,移项化简，得两边积分,得1QdQdpp211lnln2Qpc5即2121Qpce又将初始条件Q=0时,p=100代入上式,得c1=100故需求函数为212100Qpe二.可化为变量可分离的方程1.齐次方程的一阶方程，称为齐次微分方程,简称形如'()yyfx齐次方程.引入新的变换就可将齐次方程化为变量可分离的方程.,yuyuxx即6()duxufudx所以1()dudxfuux分离变量,得若u-f(u)≠0,两端积分,得1ln()dudxcfuux()dufuuxce于是,得将变量还原,便可得原方程的通解.例5求方程2dyyydxxx的通解.dyduxudxdx因为解令,yuyuxx即代入原方程,得则得dyduxudxdx2duxudx7分离变量,得2dudxxu两端积分,得ln2dudxcxulnuxc于是yux将代入上式,并化简得方程的通解为2(ln)yxxc例6求方程的通解.(lnln)dyxyyxdx解将方程恒等变形lndyyydxxx为,yuyuxx令即则得dyduxudxdx8lnduxuuudx代入原方程,得(ln1)dudxuux分离变量,得两端积分,得ln(ln1)lnlnuxcln1ucx即1cxyxeyux将代入上式,并化简得方程的通解为9三.一阶线性微分方程形如y’+p(x)y=q(x)的方程，称为一阶线性微分方程.若q(x)=0,则称方程y’+p(x)y=0为一阶齐次线性微分方程若q(x)≠0,则称方程y’+p(x)y=q(x)为一阶非齐次线性微分方程.1.一阶齐次线性微分方程的通解方程y’+p(x)y=0是变量可分离的方程,其通解为()pxdxyce其中c为任意常数.102.一阶非齐次线性微分方程的通解的解,但其中的c为x的待定函数.将y与y’代入方程y’+p(x)y=q(x),并整理,得一阶非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)是齐次方程的一般情况.我们可以设想非齐次线性微分方程有形如()()pxdxycxe()()''()()()pxdxpxdxycxecxepx因()'()()pxdxcxqxe两端积分,得()()()pxdxcxqxedxc11于是,一阶非齐次线性微分方程的通解为()()[()]pxdxpxdxyeqxedxc注1此公式是求非齐次线性微分方程的通解公式.它是由齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解相加而成的.这也是线性微分方程解的一个性质.注2把齐次线性方程通解中的任意常数c变易为待定函数c(x),使其满足非齐次线性方程而求出的c(x),从而得到非齐次线性方程通解的方法称为“常数变易法”.是求解线性微分方程的一种常用的重要方法.12例7求方程3(1)2(1)xdyxyexdx解将方程改写为的通解.22(1)1xdyyexdxx先求齐方程的通解201dyydxx分离变量,得21dydxyx两端积分并整理,得齐方程的通解2(1)ycx用常数变易法求非齐次线性方程的通解2()(1)ycxx令2''()(1)()2(1)ycxxcxx两端求导,得13()xcxec故原方程的通解为y=(ex+c)(x+1)2将y与y’代入方程,并整理,得'()xcxe两端积分,得例8求方程(sin2y+xcoty)dy=dx的通解及满足初始条件y|x=1=π/2的特解.解将方程改写为2cotsindxxyydy所以由非齐次线性方程的通解公式,得()()[()]pydypydyxeqyedyc2cotcot[sin]ydyydyeyedyc142lnsinlnsin[sin]yyeyedyc21sin[sin]sinyydycysin[cos]yyc将初始条件x=1,y=π/2代入上式,得c=1故满足初始条件的特解为x=siny(1-cosy)153.贝努里方程(n≠0,1)的方程称为贝努里方程.()()ndypxyqxydx这种方程，虽然不是线性的，但是采用变量变换的方法，就可将其化为一阶线性方程.事实上,在方程的两端同除以,得ny形如1()()nndyypxyqxdx利用微分的性质,方程也可写成111()()1nndypxyqxndx1nzy令,将方程化为线性方程16(1)()()dznpxzqxdx求出此方程的通解，并将变量代回，便可得到贝努里方程的通解.1nzy例9求方程y’=xy+x3y2的通解.解将方程改写为32dyxyxydx12,'dzzyyzdx令即3,dzxzxdx代入方程得所以由非齐次线性方程的通解公式,得173[]xdxxdxzexedx22322[]xxexedxc2222xcex22222[(2)]xxeexc1,zy将代入上式得原方程的通解为22212xycex18*例10设可微函数f(x)满足322()()1()xfxdxfxxfxx解为了求f(x)在等式两端同时求导,得32()'()()fxfxxfxx求f(x).这是关于未知函数f(x)的一阶方程，且f(2)=1令y=f(x)，得3dxxyxdyy23,,nzx这是的贝努里方程令代入上式得22dzzydyy所以由非齐次线性方程的通解公式,得19242211[]22yycycy22[(2)]dydyyyzeyedyc2ln2ln[(2)]yyeyedyc22[(2)]yyydyc2,zx将代入上式得原方程的通解为221122ycyx3(2)1,,4fc再由初始条件代入上式得故所求的函数为22211324yyx