二重积分习题总结

二重积分习题课•一、主要内容•二、典型例题定义几何意义性质计算法二重积分一、主要内容无关）与分法无关、点的取法(),(lim),(10niiiiDyxfdyxf性质与定积分相类似的性质（线性性、对称性对区域的可加性、比较性、估值、中值）计算化二次积分利用变量代换利用极坐标利用直角坐标选择坐标定义对称性),(),(0),(),(),(2),(1yxfyxfyxfyxfdyxfdyxfDD当当则1.D关于x轴对称（x轴上方部分为D1)2.D关于y轴对称（y轴右边部分为D1)),(),(0),(),(),(2),(1yxfyxfyxfyxfdyxfdyxfDD当当则3.D关于x轴、y轴均对称（第一象限部分为D1)),((),(),(0),(),((),(4),(1yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfdyxfdyxfDD－，或当　　　　　，当则二重积分的计算,:bxaD).()(21xyx［X－型］.),(),()()(21DbaxxdyyxfdxdyxfX-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（１）直角坐标系下Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点..),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf,:dycD).()(21yxy［Y－型］.)sin,cos()()(21rdrrrfd1)sin,cos(Drdrdrrf,:1D).()(21r（２）极坐标系下.)sin,cos()(0rdrrrfd,:2D).(0r2)sin,cos(Drdrdrrf3)sin,cos(Drdrdrrf.)sin,cos()(020rdrrrfd,20:3D).(0r(3)二重积分的换元法：.),()],(),,([),(:)3(;0),(),(),()2(),(),,()1(),(),,(:),(DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有变换上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在且满足，平面上的变为平面上的闭区域将连续，变换上平面上的闭区域在设定理注意以下几点1根据被积函数和积分区域的特点，合理选择坐标系和积分次序。)()(),(D22yxfyxf、极坐标给出或一部分圆周极坐标系直线、抛物线、双曲线直角坐标系被积函数的边界坐标系注意以下几点2积分的关键是定限，定限的关键是将D用联立不等式表示出来。（1）直角坐标系：先判断区域的类型，若为X型，先将区域D投影到x轴上，定出x的变化范围[a,b],然后用过[a,b]内任意点且平行于y轴的直线去穿D,得到).()(21xyx,:bxaD).()(21xyx注意以下几点2积分的关键是定限，定限的关键是将D用联立不等式表示出来。（2）极坐标系：先定出的变化范围然后以内任意角为极角，从原点引一条射线去穿D,得到).()(21r,,注意以下几点3利用函数的奇偶性与积分区域的对称性计算。DDDdyxfyxfyxfdyxfdyxfyxfyxfDDD0),(),(),(),(2),(),(),(x)1(11的上半部分，是轴对称，关于二、典型例题1利用重积分的性质或交换积分次序来证明等式或不等式。2重积分与二次积分的转化。3重积分的计算。设)(xf在]1,0[上连续，并设Adxxf10)(，求110)()(xdyyfxfdx.思考题1)(xdyyf不能直接积出,改变积分次序.令110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答则原式ydxyfxfdy010)()(.,)()(010xdyyfdxxf故110)()(2xdyyfdxxfIxdyyfdxxf010)()(])()[()(1010dyyfdxxfxx.)()(21010Adyyfdxxf例1。有界区域，求围成的平面及是由曲线其中满足设连续函数),(),()cos(),(),(2yxfxyxyDdxdyyxfxyxexyxfyxfDy解332),()cos(),(),(102aedxdyadyxedxdxdyyxfaaxyxexyxfadxdyyxfDxxyDyD239ea239)cos(),(exyxexyxfy1、计算二重积分所围；其中、所围；其中、1,1,:,))(1(2,31:,1322222xyxyDdyxyfxyxyyDdyxyDD2ln21123252解.10,11:.2yxDdxyD其中计算1D2D3D先去掉绝对值符号，如图dxydyxdxyDDDD321)()(2221211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511xyxDdxdyyxD2:,)(3222：计算答案：23累次积分；为极坐标系中的、化dyyxfdxx2010),(45解）．所围的面积（取圆外部和圆是由心脏线其中计算ararDdyxD)cos1(.22)cos1(2222aaDrdrrddyx2233]1)cos1[(31da).2922(3a6.)()(11)()(12banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22babynyxndyyf1)(11)(.)()(111bandyyfybnDxybbaa7解所围成．及由其中计算00,1.)cos(yxyxDdxdyyxyxID,,yxvyxu令.2,2uvyvux则,DDDxyo1yxDuvovuvu1v.11;0;0vyxvuyvux即),(),(vuyxJ,2121212121DdudvJvuIcos故vvduvudvcos2110.1sin211sin22110vdv8、9、1)(1)(:1,0)(,1,0C)(1010dxxfdxxfxfxf证明上不变号，在且设.)(lim,0)0()(3220222tdxdyyxfftftyxt求可微，且设