高数第十章习题(三重积分)

11(AdvancedMathematics)CSMyzx0P重积分习题课2第九章重积分三重积分积分的应用习题课重积分习题课3,(求体积计算的基本方法二重积分的应用计算技巧恰当选择坐标系计算利用对称性奇偶性简化,恰当选择投影法一、复习分积重三)曲面面积,定义几何意义),,(球面柱面直角截面法重积分习题课41、二重积分的应用(1)体积的体积为之间曲顶柱体与区域在曲面Dyxfz),(DdxdyyxfV.),((1)设S曲面的方程为：).,(yxfz曲面S的面积为;122dxdyAxyDyzxz(2)曲面面积重积分习题课5(3)设曲面的方程为),(xzhy曲面面积公式zdxyyAxzd122(2)设曲面的方程为),(zygx曲面面积公式zyxxAzydd122yzDzxD重积分习题课62、三重积分的定义设),,(zyxf是空间有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成n个小闭区域1v，2v,,nv，其中nv表示第i个小闭区域，也表示它的体积,在每个iv上任取一点),,(iii作乘积iiiivf),,(，),,2,1(ni，并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),,(zyxf在闭区域上的三重积分，记为dvzyxf),,(iiiniivf),,(lim10.重积分习题课73、三重积分的几何意义表示空间区域的体积．时当Vdvzyxf,1),,(4、三重积分的性质类似于二重积分的性质．重积分习题课85、三重积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz.),,(),,()()(),(),(2121baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf}.,),(),,{(21czcDyxzyxz.),,(),,(21zDccdxdyzyxfdzdvzyxf(１)直角坐标重积分习题课9.,sin,coszzryrx(２)柱面坐标.),sin,cos(),,(dzrdrdzrrfdvzyxf,dzrdrddv重积分习题课10.cos,sinsin,cossinzyx,sin2ddddvdxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2dddf(３)球面坐标重积分习题课11,dddzyxzI.0,1:222zzyx14OxzyDxy例计算1解法1球面坐标其中1022020sincosdddI法2截面法zDdxdyzzI10d102d1zzz4重积分习题课12例.1:222zyxdvez，计算解，故采用＂截面法＂．圆域为的函数，截面被积函数仅为2221)(zyxzDz上dvedvezz210)(2zDzdxdydze102)1(2dzezz.2xyzO111重积分习题课13zxyO例计算解利用球面坐标计算.0dVx有VzVzxdd)(1024020dsincosdd8其中由,d)(Vzx与所围成.22yxz221yxz,),,(的奇函数为xxzyxf因由关于yOz面对称,重积分习题课142a2aOxzyaraz2azr2L)0(22aazyx222yxazrazzar22联立例求曲面解azarL：解得交线所围体积.与重积分习题课152aOxzyaLDarzD0:raz2azr2DraarzrrV22dddarrarra0220d2d365a重积分习题课16例计算利用柱面坐标“先一后二”计算解1xyzO22yxz,ddd)(22zyxyxI2220212122010ddddddrzrrrzrrrI213103)d(22d2rrrrr10315132其中是由锥面与平面所围成.21zz、22yxz重积分习题课17例计算解2利用柱面坐标“先二后一”计算xyzO22yxzzrrrzI022021ddd214d412zz1031,ddd)(22zyxyxI由锥面与平面所围成.21zz、22yxz其中是重积分习题课18解3利用球面坐标计算1031cos41cos215624042xyzO例计算,ddd)(22zyxyxIsec2sec2224020dsinsinddI4053dcossin5624052cosdcos1cos56222yxz重积分习题课19例计算解1利用柱面坐标计算解2利用球面坐标计算.d)(dd111222112222yxxxzzyxyxI1222010d)(ddrzzrrrI1032d)1(31)1(2rrrrr103sec0224020dsinddI405dcossin52103重积分习题课20轴旋转一周而成的绕是由曲线zxzy022.d)(22Vyx解轴旋转一周而成绕由曲线zxzy022zyx2228xyzO例设求围成的空间区域曲面与平面,8z的旋转曲面方程为法一利用柱面坐标计算Vyxd)(22zrrrddrd822402024023d282rrr31024重积分习题课2180204d42zrz法二“先二后一”Vyxd)(22yxyxdd)(22zyx22280dzrrrzzddd20220808xyzO31024重积分习题课22练习题一、选择题1、计算,其围成的立体,则正确的解法为()和().zdvI1,222zyxz为中(A)101020zdzrdrdI；(B)11020rzdzrdrdI；(C)11020rrdrdzdI；(D)zzrdrddzI02010.BD重积分习题课232、曲面之内及曲面zzyx222222yxz之外所围成的立体的体积.ddd)(2211020rrzrrA.ddd)(2111020rrzrrB.ddd)(110202rrzrrC.ddd)(22111020rrzrrDD).(VxyzOxyzOxyzO1:22yxxy重积分习题课24,)(22dvzy其中是由xoy平面上曲线xy22绕x轴旋转而成的曲面与平面5x所围成的闭区域.二、计算下列三重积分:1球体1:222zyx，求三重积分dxdydzx11123,)3tansin(2zyxydvxzyeI3设求.I2重积分习题课2522yxz与4z4求围成立体的体积.5设是由22yxz和1z所围成，将积分dxdydzzyxf),,(化为球面坐标系下的累次积分.6计算三重积分222222122221212121yxyxxxdz)zyx(dydxI重积分习题课267将三重积分dvzyxfI),,(直角坐标、柱面坐标与球面坐标系下的三次积分，其中分别化为)(3,4:)322222yxzzyx);0(2:)1222RRzzyx.)0()222222所围成与由RyxRzyxz积分区域Ω是：重积分习题课27.,222围成的闭区域平面与由锥面求hzzyxzdxdydz.0,,02,2222区域在第一卦限所围成的闭与平面面由圆柱求yazzxyxdxdydzyxzI89重积分习题课28绕轴旋转而成的曲面为：xxy22平面上曲线xoy、2xzy222的交线为平面与椭圆抛物面5222xxzy51022xzy:yzDyoz面上投影得投影区域向将1022zy返回解答二、计算题重积分习题课293250rdrrrd201004225dxzydydzdvzyyzDzy52222222)(返回dxrrdrdr522201002重积分习题课3011123,)3tansin(2zyxydvxzyeI3的奇函数，是的奇函数，是由于被积函数xxyytansin3面都对称，积分区域关于三个坐标111111233)3tansin(2zyxzyxydvdvxzyeI则：.24233返回重积分习题课3122yxz与4z4围成立体的体积为dzdxdydvVxyDyx422,4:22yxDxy其中202042.8rdzrdrd返回重积分习题课32dfdd2cos104020)cos,sinsin,cossin(sin5、2040104sin6ddd、返回)221(52返回重积分习题课337、1)直角坐标柱面坐标球面坐标dsin)cos,sinsin,cossin(dd2cos202020RfIRRyxRRyxRRxRxRzzyxfyxI2222222222d),,(dd2222d),sin,cos(dd020rRRrRRRzrzrrfrI返回重积分习题课342)直角坐标柱面坐标球面坐标222121222222222d),,(ddRRyxRyxxRxRzzyxfyxI22d),sin,cos(dd2020rRrRzrzrrfrIdsin)cos,sinsin,cossin(dd204020RfI返回重积分习题课353)直角坐标：2222224)(31111),,(yxyxxxdzzyxfdydxI柱面坐标：2431020),sin,cos(rrrdzzrrfdrdI球面坐标：2026020sin)cos,sinsin,cossin(dfddI返回重积分习题课36zdxdyzdzzdxdydzh0用截面法：.84402hdzzzh返回重积分习题课37,0,2:.922azxyxDxy法一：投影法：dxdydzyxzI22返回20cos2022rdrrda298ada20323cos82ardzzrdrd020cos20重积分习题课38,2:,0:22xyxazz法二：截面法dxdydzyxzI22dxdyyxzdzza220298a返回20cos200rdrrdzdza重积分习题课39作业：P2593(6)5