高等数学曲线积分与曲面积分习题课

上一页下一页返回第八章曲线积分与曲面积分习题课一、主要内容二、线、面积分的基本计算法上一页下一页返回一、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,,,.),(,1121niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设1.定义oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL上一页下一页返回.),(lim),(,),(,),(,,010niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即记作线积分第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量.),(LdsyxM上一页下一页返回2.存在条件：.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当LdsyxfLyxf3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数),,(zyxf.),,(lim),,(10iniiiisfdszyxf上一页下一页返回注意：)(,)(.121LLLL是分段光滑的或若.),(),(),(2121LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(.2LdsyxfLyxf曲线积分记为上对弧长的在闭曲线函数上一页下一页返回.),(),()],(),([)1(LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数kdsyxfkdsyxkfLL.),(),(),()3(21LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL二、对弧长的曲线积分的性质上一页下一页返回三、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,,).,;,,2,1(),(,),,(),,(.),(),,(,11101111222111时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义上一页下一页返回.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP记作或称第二类曲线积分）积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数则称此极限为函的极限存在类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ,),(),,(叫做被积函数其中yxQyxP.叫积分弧段L上一页下一页返回2.存在条件：.,),(),,(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP3.组合形式LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中.LdsF上一页下一页返回4.推广空间有向曲线弧.),,(lim),,(10iiiniixPdxzyxP.RdzQdyPdx.),,(lim),,(10iiiniiyQdyzyxQ.),,(lim),,(10iiiniizRdzzyxR上一页下一页返回.,)1(2121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设,,)2(LLL即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(四、对坐标的曲线积分的性质上一页下一页返回五、对面积的曲面积分的定义设曲面是光滑的,函数),,(zyxf在上有界,把分成n小块iS（iS同时也表示第i小块曲面的面积）,设点),,(iii为iS上任意取定的点,作乘积),,(iiifiS,并作和niiiif1),,(iS,如果当各小块曲面的直径的最大值0时,这和式的极限存在,则称此极限为函数),,(zyxf在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.1.定义上一页下一页返回即dSzyxf),,(iiiniiSf),,(lim10记为dSzyxf),,(.dSzyxf),,(21),,(),,(dSzyxfdSzyxf.则及可分为分片光滑的曲面若,21叫被积函数，其中),,(zyxf.叫积分曲面六、对面积的曲面积分的性质上一页下一页返回基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧上一页下一页返回n曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面上一页下一页返回莫比乌斯带典型单侧曲面:播放上一页下一页返回曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:面在xoyS,在有向曲面Σ上取一小块.0cos00cos)(0cos)()(时当时当时当xyxyxyS.)(表示投影区域的面积其中xy为上的投影xyS)(曲面S上一页下一页返回定义设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成n块小曲面iS(iS同时又表示第i块小曲面的面积),iS在xoy面上的投影为xyiS)(,),,(iii是iS上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值0时,nixyiiiiSR10))(,,(lim存在,则称此极限为函数),,(zyxR在有向曲面Σ上对坐标yx,的曲面积分(也称第二类曲面积分)七、对坐标的曲面积分的定义上一页下一页返回记作dxdyzyxR),,(,即nixyiiiiSRdxdyzyxR10))(,,(lim),,(被积函数积分曲面类似可定义niyziiiiSPdydzzyxP10))(,,(lim),,(nizxiiiiSQdzdxzyxQ10))(,,(lim),,(上一页下一页返回存在条件:当),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(上一页下一页返回八、对坐标的曲面积分的性质2121.1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),,(),,(),,(),,(),,(),,(.2上一页下一页返回九、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终上一页下一页返回对弧长曲线积分的计算定理)()()()](),([),(,],[)(),()(),(),(,),(22dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设上一页下一页返回注意:;.1一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中yxyxf特殊情形.)(:)1(bxaxyL.)(1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL)(ba上一页下一页返回推广:)().(),(),(:ttztytx)()()()()](),(),([),,(222dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL.)(1]),([),(2dyyyyfdsyxfdcL)(dc上一页下一页返回例1).(,sin,cos:,象限第椭圆求tbytaxLxydsIL解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincosdttbtattab222220cossincossinabduubaab222)cossin(2222tbtau令.)(3)(22bababaab上一页下一页返回例2.)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求xyLydsIL解dyyyI222)2(1.0例3)20(.,sin,cos:,的一段其中求kzayaxxyzdsI解.21222kakaxy42dkaka222sincos20I上一页下一页返回例4.0,,22222zyxazyxdsxI为圆周其中求解由对称性,知.222dszdsydsxdszyxI)(31222故dsa32.323a),2(球面大圆周长dsa上一页下一页返回对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP定理上一页下一页返回dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(且特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则.)(:)2(dcyyxxL，终点为起点为.]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL则上一页下一页返回.,,)()()(:)3(终点起点推广ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{上一页下一页返回例5计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:π202dsinttta原式π202sincosttta上一页下一页返回zyx1O例6计算其中由平面y=z截球面提示:因在上有故原式=2π21432π212从z轴正向看沿逆时针方向.上一页下一页返回十、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面上一页下一页返回oxyz定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有Szyxfd),,(yxDyxf),,(对面积的曲面积分的计算法则曲面积分yxD),,(kkkyxk)(上一页下一页返回计算dszyx)(,其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.例7积分曲面：yz5,解投影域：}25|),{(22yxyxDxy上一页下一页返回dszyx)(故xyDdxdyyyx)5(2xyDdxdyx)5(2rdrrd