高等数学2(第5章-多元函数积分学的应用-肖萍)

第5章多元函数积分学的应用第5章多元函数积分学的应用§0点函数积分定义1.设为有界闭区域,函数u=f(P)(P)为上的有界点函数.将几何体任意分成n个子闭区域1,2,…,n,其中i表示第i个子闭区域,也表示它的度量.在i上任取一点Pi,作乘积f(Pi)i,并作和如果当各子闭区域i的直径中的最大值趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为点函数f(P)在上的积分,记为即其中称为积分区域,f(P)称为被积函数,P称为积分变量,f(P)d注1.点函数积分的物理意义:设一物体占有有界闭区域,其密度为=f(P),该物体的质量为称为被积表达式,d称为度量微元.注2.特别地,当f(P)=1时,有第5章多元函数积分学的应用第5章多元函数积分学的应用注3.点函数积分可分成以下六类：1.若=[a,b]R,f(P)=f(x),x[a,b],则这是f(x)在[a,b]上的定积分.当f(x)=1时,是区间长.2.若=LR2,且L是一平面曲线,f(P)=f(x,y),(x,y)L,则这是f(x,y)在平面曲线L上的第一类曲线积分.当f(x)=1时,是平面曲线L的弧长.第5章多元函数积分学的应用3.若=R3,且是一空间曲线,f(P)=f(x,y,z),(x,y,z),则这是f(x,y,z)在空间曲线上的第一类曲线积分.当f(x,y,z)=1时,是空间曲线的弧长.4.若=DR2,且D是一平面区域,f(P)=f(x,y),(x,y)D,则这是f(x,y)在平面区域D上的二重积分.当f(x,y)=1时,是平面区域D的面积.第5章多元函数积分学的应用5.若=R3,且是一空间曲面,f(P)=f(x,y,z),(x,y,z),则这是f(x,y,z)在空间曲面上的第一类曲面积分.当f(x,y,z)=1时,是空间曲面的面积.6.若R3,且是一空间区域,f(P)=f(x,y,z),(x,y,z),则这是f(x,y,z)在空间区域上的三重积分.当f(x,y,z)=1时,是空间区域的体积.第5章多元函数积分学的应用注4.点函数积分具有以下八条性质：设f(P),g(P)在有界闭区域上都可积,则有性质1[()()]d()d()d.fPgPfPgP性质2()d()d.kfPkfP线性性性质312()d()d()dfPfPfP其中1∪2=,其中1与2无公共内点.区域可加性第5章多元函数积分学的应用性质41dd().度量当f(P)=1时,有性质5()d0.fP若f(P)0,P,则推论1.若f(P)g(P),P,则()d()d.fPgP保号性推论2.|()d||()|d.fPfP性质6()()d(),mDfPMD设f(P)在上的最大值为M,最小值为m,则其中D()为的度量.估值性质第5章多元函数积分学的应用性质7()dfP设f(P)在上的连续,则至少有一点P*,使得其中称为函数f(P)在在上的平均值.()d()fPD*()(),fPD积分中值定理性质8(对称性质)1.(1)对于二重积分和第一类平面曲线积分有:若f(P)C(),关于x(y)轴对称,1为被x(y)轴切割的一半区域,则12()d,(,)(,);()d0,(,)(,(,)(,)(()),),.fPfxyfxyfPfxfxyfxyfxyfyfxyxy第5章多元函数积分学的应用(2)对于三重积分,第一类空间曲线积分和第一类曲面积分有:若f(P)C(),关于xoy面(yoz面)(zox面)对称,1为被xoy面(yoz面)(zox面)切割的一半区域,则12()d,(,,)(,,)()d0,(,,)(,(,,),)(,,)((,,,),)fPfxyzfxyzfPffxyzfxyzfxxyzfxyzyzfxyz(,,)(,,)fxyzfxyz(,,)(,,)fxyzfxyz第5章多元函数积分学的应用2.(1)对于二重积分和第一类平面曲线积分有:若f(P)C(),关于原点对称,1为被过原点的任一条直线切割的一半区域,则12()d,(,)(,);()d0,(,)(,).fPfxyfxyfPfxyfxy(2)对于三重积分,第一类空间曲线积分和第一类曲面积分有:若f(P)C(),关于原点对称,1为被过原点的任一平面切割的一半区域,则第5章多元函数积分学的应用12()d,(,,)(,,);()d0,(,,)(,,).fPfxyzfxyzfPfxyzfxyz3.(轮换对称性)(1)对于二重积分和第一类平面曲线积分有:若f(P)C(),关于y=x对称,则(,)d(,)d.fxyfyx第5章多元函数积分学的应用(2)对于三重积分,第一类空间曲线积分和第一类曲面积分有:若f(P)C(),且x,y,z三个变量在的表示中地位一样,则(,,)d(,,)d(,,)d.fxyzfyzxfzxy注.轮换对称性对第二类的线面积分也成立.第5章多元函数积分学的应用§1多元函数积分学在几何上的应用1、平面图形与曲面的面积•占有平面区域D的平面图形的面积为•空间曲面:z=z(x,y)的面积为第5章多元函数积分学的应用•以xoy平面上曲线L为准线,母线平行于z轴的柱面被曲面:z=z(x,y)所截,位于与xoy坐标面之间的部分的面积为zxyoL(x,y)dsz(x,y)第5章多元函数积分学的应用例1.求由y=4–x2,y=–3x,x=1所围成的平面图形的面积S.D1D24y=4–x2x=1y=–3xyOx223S第5章多元函数积分学的应用例2.求曲线(x2+y2)2=2a2(x2–y2)和x2+y2a2所围成的平面图形的面积S.2(3)3Sa例3.求由y2=px,y2=qx,x2=ay,x2=by(0pq,0ab)所围成的平面图形的面积S.yOxvOuybx2yax2Dxqy2xpy2,,22yxvxyu解:令*Dpqab则*:puqDavb第5章多元函数积分学的应用1()()3Sqpba例4.求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内部的那部分面积S.yzx解:由对称性,S=4S1zyxDxy:222yxazDxy:x2+y2ax,y0.S=4S1=2(–2)a2第5章多元函数积分学的应用例5.求由抛物线z=x2上从x=1到x=2的一段绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积S.z=x22o1xyzDxy解::z=x2+y2Dxy:1x2+y222222441)()(1yxyzxz2214()ddxyDSxyxy(171755)6S第5章多元函数积分学的应用第5章多元函数积分学的应用注.一般地,由曲线z=(x)(0axb)绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积为2221[()]ddxyDSxyxy其中:D={(x,y)|a2x2+y2b2}.221()dbaSrrr转化为极坐标有例6.求圆柱面x2+y2=ax(a0)含在球面x2+y2+z2=a2内部的那部分面积S.yzx解:由对称性,S=4S1zyxL,:2xaxyL0xa2221dLSaxysS=4S1=4a2第5章多元函数积分学的应用2、立体的体积第5章多元函数积分学的应用•以平面区域D为底,连续曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积为•占有空间有界域的立体的体积为例7.求曲面1:z=x2+y2+1上任一点的切平面与曲面2:z=x2+y2所围立体的体积V.第5章多元函数积分学的应用例8.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积V.2Vxoyza2rM344(1cos)3aV3、曲线的弧长第5章多元函数积分学的应用•平面曲线L的弧长为•空间曲线的弧长为例9.求空间曲线:x=3t,y=3t2,z=2t3从点(0,0,0)到点(3,3,2)的一段弧长.第5章多元函数积分学的应用内容小结：利用我们学过的点积分求一些几何形体的度量.5s第5章多元函数积分学的应用§2多元函数积分学在物理上的应用1、物体的质量设几何形体的质量分布密度为(P),P则dM=(P)d故()dMP第5章多元函数积分学的应用(1)平面薄板D,质量面密度为(x,y),则(,)d;DMxy(2)空间物体,质量体密度为(x,y,z),则(,,)d;Mxyzv(3)曲线状物体L(),质量线密度为(x,y)((x,y,z)),则(,)dLMxys(,,)()d;Mxyzs(4)曲面状物体,质量面密度为(x,y,z),则(,,)d.MxyzS第5章多元函数积分学的应用例1.设球面x2+y2+z2=2及锥面围成立体,其质量体密度与立体中的点到球心的距离之平方成正比,且在球面上等于1.试求该立体的质量.22zxyzyxa4第5章多元函数积分学的应用例2.一个圆柱面x2+y2=R2介于平面z=0,z=H之间,其质量面密度等于柱面上的点到原点的距离之平方的倒数,求其质量.21xyRRzH解:2221(,,)xyzxyz(x,y,z)222dzyxSM第5章多元函数积分学的应用2、质心与形心由力学知,该质点系的质心坐标为,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyy设平面有n个质点,分别位于(xk,yk),其质量分别为mk(k=1,2,…,n).对y轴的静力矩对x轴的静力矩第5章多元函数积分学的应用由力学知,该质点系的质心坐标为,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设空间有n个质点,分别位于(xk,yk,zk),其质量分别为mk(k=1,2,…,n).对yoz面的静力矩对xoz面的静力矩对xoy面的静力矩第5章多元函数积分学的应用设物体占有平面几何形体,其质量密度为(x,y)C(),则质量微元为对x轴和y轴的静力矩微元为对x轴和y轴的静力矩为(,)d,(,)dxyMyxyMxxy则的质心为(,)d(,)d,(,)d(,)dyxxxyyxyMMxyMMxyxy第5章多元函数积分学的应用设物体占有空间形体,其质量密度为(x,y,z)C(),则质量微元为对yoz面,zox面和xoy面的静力矩微元为对yoz面,zox面和xoy面的的静力矩为(,,)d,(,,)d,(,,)dyzzxxyMxxyzMyxyzMzxyz第5章多元函数积分学的应用则的质心为(,,)d(,,)d,(,,)d(,,)d(,,)d.(,,)dyzzxxyxxyzyxyzMMxyMMxyzxyzzxyzMzMxyz第5章多元函数积分学的应用在xoy面上,面密度为(x,y)的平面薄片D的质心为,则),(yx(,)d(,)d,.(,)d(,)dyxDDDDxxyyxyMMxyMMxyxy线密度为(x,y)的平面曲线L的质心为,则(,)xy(,)d(,)d,.(,)d(,)dyxLLLLxxysyxysMMxyMMxysxys第5章多