考研曲线积分和曲面积分

第十章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法机动目录上页下页返回结束对弧长的曲线积分第十章内容小结1.定义szyxfd),,(2.性质Lsyxfd),(szyxgzyxfd),,(),,()1(21d),,(d),,(d),,()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由lsd)3((l曲线弧的长度)),(为常数szyxgLd),,(机动目录上页下页返回结束3.计算•对光滑曲线弧Lsyxfd),(•对光滑曲线弧Lsyxfd),(baxxf))(,(Lsyxfd),()sin)(,cos)((rrf•对光滑曲线弧tttd)()(22xxd)(12d)()(22rr)](),([ttf机动目录上页下页返回结束如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:),()(:rrL则)sin)(,cos)((rrf推广:设空间曲线弧的参数方程为)()(,)(),(:ttztytx则szyxfd),,(ttttd)()()(222xxd)(12d)()(22rrbaxxf))(,())(),(,)((tttf机动目录上页下页返回结束其中L1是曲线L在x轴右侧的那一部分；关于y轴对称也有类似结论。10,(,)(,)2(,),(,)LLfxyyfxydsfxydsfxyy当关于为奇函数；当关于为偶函数对称性的应用：1.如果曲线关于x轴对称，函数f(x,y)关于y为奇偶函数，则2.设f(x,y)在曲线连续，曲线L关于原点对称，函数f(x,y)关于（x,y）为奇偶函数，则其中L1是曲线L在右半平面或上半平面的那一部分。10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)LLfxyxyfxydsfxydsfxyxy当关于为奇函数；当关于为偶函数例1.计算其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解:在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性,得4022d)()(cos4rrr402dcos4ayox机动目录上页下页返回结束dds例2.计算其中为球面22yx解:,11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)sin2(18d22920Id2cos221z.1的交线与平面zx292z化为参数方程21cos2xsin2y则机动目录上页下页返回结束思考与练习已知椭圆134:22yxL周长为a,求syxxyLd)432(22提示:0d2sxyL原式=syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性机动目录上页下页返回结束第二节1、对坐标的曲线积分的概念与性质2、对坐标的曲线积分的计算法3、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分第十章1.定义kkkknkyQxP),(),(limkk10性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L－表示L的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动目录上页下页返回结束2.计算,)()(:tytxL:ttttQttPd)](),([)](),([)(t)(t•对有向光滑弧•对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad)](,[)](,[)(x机动目录上页下页返回结束3、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(机动目录上页下页返回结束第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件机动目录上页下页返回结束格林公式及其应用第十章LD区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有LDyQxPyxyPxQdddd(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式机动目录上页下页返回结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有.0ddLyQxP(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)yQxPyxudd),(d(4)在D内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束yx说明:根据定理2,若在某区域内,xQyP则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束真题研讨21.(09)2Lxds已知L:y=x(0x)，则sinsinsinsinsinsin22.(030,0(2)2xxxxLLxxLxyDxedyyedxxedyyedxxedyyedx）已知D:，L为的正向边界，试证:(1)23.(99)=(sin())(cos)(2,0)2xxLeybxydxeyaxLAaaxx求Idy，其中a,b为正的常数,为从点沿曲线y=到点(0,0)的弧.224.(00)4Lxdyydxxy求I=，其中L是以点（1,0）为中心，R为半径的圆周（R1)取逆时针方向.225.(04)2Lxdyydx设L为正向圆周x+y=2在第一象限中的部分，则26.(08)(0,0)sinsin22.LLAxxdx设为从点沿曲线y=到点(,0)的弧,则（x-1）dy2222238.(12)243(2)LLxxydxxxydy已知是第一象限中从点（0,0）沿x+y=到点(2,0),再沿x+y=到点(0,2)的曲线段，计算J=2227.(11)2LLyxzdxxdydz设是柱面x+y=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向看去为逆时针方向，则229.97()():2LzydxxydzLLxyz（）求（x-z)dyx+y=1其中,从z轴正向看的方向顺时针.第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法机动目录上页下页返回结束对面积的曲面积分第十章1.定义:iiiiSf),,(ni10lim2.计算:设,),(,),(:yxDyxyxzz则yxDyxf,,(),(yxz)221yxzzyxdd(曲面的其他两种情况类似)•注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.机动目录上页下页返回结束对面积的曲面积分的概念、性质和计算对称性的应用设关于yoz对称，则若关于另外两个坐标面有对称性，也有类似结论10,(,,)(,,)(,,)(,,)fxyzfxyzdSfxyzdSfxyz当关于x是奇函数，当关于x是偶函数例3.计算其中是球面22yx利用对称性可知SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd4解:显然球心为,)1,1,1(半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz机动目录上页下页返回结束第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲面积分第十章其方向用法向量指向方向余弦coscoscos0为前侧0为后侧封闭曲面0为右侧0为左侧0为上侧0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,,)(yxSSyxS)(侧的规定•指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)(,)(机动目录上页下页返回结束引例中,流过有向曲面的流体的流量为zyPdd称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;yxRdd称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd若记正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS)),,(,),,(,),,((zyxRzyxQzyxPA则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动目录上页下页返回结束时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1)),(,,(d),,(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd)),(,,(dd),,(（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.机动目录上页下页返回结束•若则有zyzyxPdd),,(),(zy,PzyD),(zyxzydd•若则有xzzyxQdd),,()z,,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)机动目录上页下页返回结束性质:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos机动目录上页下页返回结束例5.设S是球面的外侧,计算SxxzyI2cosdd2解:利用轮换对称性,有0cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4zzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22机动目录上页下页返回结束221cosyxx例6.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2∴原式=)(x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.)(2xz2211cosyx机动目录上页下页返回结束)(xxyxD222)(41yxoyxz2原式=)(2221yxyxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yx