第一类曲线积分例题与习题

第十一章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间平面域空间域曲线积分曲线弧曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分目录上页下页返回结束第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分第十一章目录上页下页返回结束AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得nk1M为计算此构件的质量,ks1kMkM),,(kkk1.引例:曲线形构件的质量采用目录上页下页返回结束设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,kkkksf),,(都存在,上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),,(若通过对的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量szyxMd),,(nk10limks1kMkM),,(kkk和对目录上页下页返回结束如果L是xOy面上的曲线弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果L是闭曲线,则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,?d表示什么问Ls(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.目录上页下页返回结束3.性质szyxfd),,()1(（,为常数)szyxfd),,()2((由组成)(l为曲线弧的长度)),,(zyxgszyxfd),,(szyxgd),,(21d),,(d),,(szyxfszyxf目录上页下页返回结束tttttfsyxfLd)()()](,)([d),(22二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分目录上页下页返回结束xyOxdydsd说明:,0,0)1(kkts因此积分限必须满足!(2)注意到22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”.目录上页下页返回结束如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:),()(:rrL则)sin)(,cos)((rrf推广:设空间曲线弧的参数方程为)()(,)(),(:ttztytx则szyxfd),,(ttttd)()()(222xxd)(12d)()(22rrbaxxf))(,())(),(,)((tttf目录上页下页返回结束例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:)10(:2xxyL10xxxxd4110210232)41(121x)155(121上点O(0,0)O1Lxy2xy)1,1(B目录上页下页返回结束例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解:建立坐标系如图,RxyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23R0342sin22R)cossin(3R则)(sincos:RyRxL目录上页下页返回结束例3.计算其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解:在极坐标系下它在第一象限部分为)4π0(2cos:1arL利用对称性,得4π022d)()(cos4rrr4π02dcos4aOyx目录上页下页返回结束例4.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:szyxd)(222ttkakad][π2022222)π43(3π222222kaka线目录上页下页返回结束例5.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知sxd2szyxsxd)(31d2222sad312aaπ23123π32asyd2szd2目录上页下页返回结束dds例6.计算其中为球面解:,11)(:24122121zxyx:π202)sin2(2)sin2(π18d229π20Id2cos221z.1的交线与平面zx29222zyx化为参数方程21cos2xsin2y则目录上页下页返回结束例7.有一半圆弧其线密度解:cosdd2RskFxsindd2RskFyORRxyπ0dcos2RkFxπ0dsin2RkFy0πcossin2Rk0πsincos2Rk故所求引力为),(yx求它对原点处单位质量质点的引力.RkRkFπ2,4目录上页下页返回结束内容小结1.定义szyxfd),,(2.性质Lsyxfd),(szyxgzyxfd),,(),,()1(21d),,(d),,(),,()2(szyxfszyxfszyxfd),(21组成由lsd)3((l曲线弧的长度)),(为常数szyxgd),,(目录上页下页返回结束3.计算•对光滑曲线弧Lsyxfd),(•对光滑曲线弧Lsyxfd),(baxxf))(,(Lsyxfd),()sin)(,cos)((rrf•对光滑曲线弧tttd)()(22xxd)(12d)()(22rr)](),([ttf目录上页下页返回结束2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转动惯量;zI(2)求它的质心.解:设其密度为ρ(常数).syxILzd)(22π202atkad22222π2kaa(2)L的质量smLd22π2ka而22kaaπ20dcostt0(1)目录上页下页返回结束22kaaπ20dsintt022kakπ20dtt222π2kak故重心坐标为)π,0,0(k作业P1883(3),(4),(6),(7)5第二节目录上页下页返回结束2.L为球面2222Rzyx标面的交线,求其形心坐标.在第一卦限与三个坐解:如图所示,交线长度为ORzyxRR1L3L2LslLd314π23R2π3R由对称性,形心坐标为321d1LLLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl2π0dcos2RRlπ34R