几种常见的微分方程简介,解法

高等数学教案§12微分方程第1页共1页第十二章：微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4.会用降阶法解下列微分方程：()()nyfx，(,)yfxy和(,)yfyy5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()nyfx，(,)yfxy和(,)yfyy3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。4、欧拉方程高等数学教案§12微分方程第2页共2页§121微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程几个概念微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶x3yx2y4xy3x2y(4)4y10y12y5ysin2xy(n)10一般n阶微分方程F(xyyy(n))0y(n)f(xyyy(n1))微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上F[x(x)(x)(n)(x)]0那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n))0在区间I上的解通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如xx0时yy0yy0一般写成00yyxx00yyxx特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解高等数学教案§12微分方程第3页共3页初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程yf(xy)满足初始条件00yyxx的解的问题记为00),(yyyxfyxx积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程解设所求曲线的方程为yy(x)根据导数的几何意义可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)xdxdy2(1)此外未知函数yy(x)还应满足下列条件x1时y2简记为y|x12(2)把(1)式两端积分得(称为微分方程的通解)xdxy2即yx2C(3)其中C是任意常数把条件“x1时y2”代入(3)式得212C由此定出C1把C1代入(3)式得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)yx21例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式4.022dtsd(4)此外未知函数ss(t)还应满足下列条件t0时s020dtdsv简记为s|t0=0s|t0=20(5)高等数学教案§12微分方程第4页共4页把(4)式两端积分一次得14.0Ctdtdsv(6)再积分一次得s02t2C1tC2(7)这里C1C2都是任意常数把条件v|t020代入(6)得20C1把条件s|t00代入(7)得0C2把C1C2的值代入(6)及(7)式得v04t20(8)s02t220t(9)在(8)式中令v0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020t(s)再把t50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m)解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米s04并且s|t0=0s|t0=20把等式s04两端积分一次得s04tC1即v04tC1(C1是任意常数)再积分一次得s02t2C1tC2(C1C2都C1是任意常数)由v|t020得20C1于是v04t20由s|t00得0C2于是s02t220t令v0得t50(s)于是列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m)例3验证函数xC1cosktC2sinkt高等数学教案§12微分方程第5页共5页是微分方程0222xkdtxd的解解求所给函数的导数ktkCktkCdtdxcossin21)sincos(sincos212221222ktCktCkktCkktCkdtxd将22dtxd及x的表达式代入所给方程得k2(C1cosktC2sinkt)k2(C1cosktC2sinkt)0这表明函数xC1cosktC2sinkt满足方程0222xkdtxd因此所给函数是所给方程的解例4已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程0222xkdtxd的通解求满足初始条件x|t0Ax|t00的特解解由条件x|t0A及xC1cosktC2sinkt得C1A再由条件x|t00及x(t)kC1sinktkC2coskt得C20把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中得xAcoskt§122可分离变量的微分方程观察与分析1求微分方程y2x的通解为此把方程两边积分得yx2C一般地方程yf(x)的通解为Cdxxfy)((此处积分后不再加任意常数)2求微分方程y2xy2的通解高等数学教案§12微分方程第6页共6页因为y是未知的所以积分dxxy22无法进行方程两边直接积分不能求出通解为求通解可将方程变为xdxdyy212两边积分得Cxy21或Cxy21可以验证函数Cxy21是原方程的通解一般地如果一阶微分方程y(x,y)能写成g(y)dyf(x)dx形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y)F(x)C由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(xy)dxQ(xy)dy0在这种方程中变量x与y是对称的若把x看作自变量、y看作未知函数则当Q(x,y)0时有),(),(yxQyxPdxdy若把y看作自变量、x看作未知函数则当P(x,y)0时有),(),(yxPyxQdydx可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式就是说能把微分方程写成一端只含y的函数和dy另一端只含x的函数和dx那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy是y1dy2xdx高等数学教案§12微分方程第7页共7页(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0不是(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)(5)y10xy是10ydy10xdx(6)xyyxy不是可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式第二步两端积分dxxfdyyg)()(设积分后得G(y)F(x)C第三步求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)Cy(x)或x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解例1求微分方程xydxdy2的通解解此方程为可分离变量方程分离变量后得xdxdyy21两边积分得xdxdyy21即ln|y|x2C1从而2112xCCxeeey因为1Ce仍是任意常数把它记作C便得所给方程的通解2xCey解此方程为可分离变量方程分离变量后得xdxdyy21两边积分得xdxdyy21即ln|y|x2lnC高等数学教案§12微分方程第8页共8页从而2xCey例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M0求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dtdM由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程MdtdM其中(0)是常数前的曲面号表示当t增加时M单调减少即0dtdM由题意初始条件为M|t0M0将方程分离变量得dtMdM两边积分得dtMdM)(即lnMtlnC也即MCet由初始条件得M0Ce0C所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系解设降落伞下落速度为v(t)降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)根据牛顿第二运动定律Fma得函数v(t)应满足的方程为kvmgdtdvm初始条件为v|t00方程分离变量得高等数学教案§12微分方程第9页共9页mdtkvmgdv两边积分得mdtkvmgdv1)ln(1Cmtkvmgk即tmkCekmgv(keCkC1)将初始条件v|t00代入通解得kmgC于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(tmkekmgv例4求微分方程221xyyxdxdy的通解解方程可化为)1)(1(2yxdxdy分离变量得dxxdyy)1(112两边积分得dxxdyy)1(112即Cxxy221arctan于是原方程的通解为)21tan(2Cxxy例5有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中