黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

1分类号O172.2编号2012010644毕业论文题目学院姓名专业学号研究类型指导教师提交日期1原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：数学与统计学院2012届毕业论文2黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系摘要：介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例,说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系.关键词：黎曼积分;勒贝格积分;可测函数;可积函数.TheDifferencesandRelationsBetweentheRiemannIntegralandLévesqueIntegralAbstract:Inthispaper,thedefinitionsoftheRiemannintegralandLévesqueintegralareintroduced,Comparedwiththeexistencesofconditions,theelementaryproperties,theclassesoftheintegralfunctionandtheassociatedconclusionsofthetwointegrals,ThedifferencesandrelationsbetweentheRiemannintegralandLévesqueintegralaregiven.Meanwhile,theexamplecorrespondingtoeachconclusionisalsoresented.Keywords:Riemannintegral;Lévesqueintegral;measurablefunction;integralfunction数学与统计学院2012届毕业论文1目录1引言.....................................................................21.1微积分的发展史...................................................21.2黎曼积分与勒贝格积分的引入........................................22黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系.........................................52.1黎曼积分和勒贝格积分定义的比较....................................52.2黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较................................72.3黎曼积分与勒贝格积分的性质比较.....................................92.4黎曼可积函数类与勒贝格可积函数类..................................122.5黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较...............................133黎曼积分与勒贝格积分的主要联系..........................................154文章总结和展望..........................................................164.1文章总结..........................................................164.2文章展望.........................................................16参考文献..................................................................18致谢......................................................................19数学与统计学院2012届毕业论文2黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系1引言1.1微积分的发展史积分学的历史很早,它起源于求积问题,真正成为积分学萌芽的当属阿基米德的工作,他在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积,其方法是逐次做出与该弓形同底等高的三角形,然后将这些三角形的面积加起来,之后的很多年虽然微积分的奠基工作一直在紧锣密鼓的进行着,但其中还是存在不少的缺陷,直到17世纪下半叶,牛顿和莱布尼茨创立了微积分学,关于积分中怎样理解无穷小的困扰直至柯西,海涅等人的实数理论及一致连续性的提出,才完成了微积分严密化的任务.牛顿将微分的思想用到积分上,得出积分运算是微分运算在某种意义下的逆运算,也发展了不定积分的思想,莱布尼茨从积分思想看出积分运算是微分运算的逆,得到了牛顿—莱布尼茨公式,即设)(xF是)(xf的不定积分,则有成立baaFbFdxxf)()()(.此公式使得积分的计算大为简便,是积分运算系统的处理方法.微积分成了真正可以应用的理论了.1.2黎曼积分与勒贝格积分的引入数学史上提出用分割区间,做和式的极限来明确的定义积分的是A.Cauchy,他考察的积分对象是在ba,上的连续函数.并用连续函数的中值性质推导积分的存在性,A.Cauchy所做的积分存在性的证明只适用于函数至多有有限个不连续点的情形,于是对无穷多个不连续点的函数的存在性问题引起很多专家学者的兴趣,对积分发展起推动作用的是J.Fourier关于三角级数的工作,它指出定义在ba,上的函数)(xf可表示为)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn.其中,数学与统计学院2012届毕业论文31nanxdxxfcos)(.nxdxxfbnsin)(1,2,1n.这一结果虽然缺乏严格的论证,但当时在物理学上的成功应用引起了数学界的极大重视,后来Ddrboux又得出如下结论.设)(xf是定义在ba,上的有界函数,做划分:,10bxxxan且,),(sup1iiixxxxfMiiixxxxfm1),(inf,2,1i,11iiniixxMS,11iiniixxms下积分baSdxxfinf,上积分sdxxfbasup,若有baSdxxfinf=sdxxfbasup则)(xf在ba,上是黎曼可积的.黎曼积分的重要性是显然的,它对处理诸如逐段连续的函数以及一致收敛的函数是足够的,并至今仍突然是微积分课程的主要内容,然而，随着理论工作的深入,人们越来越多的接触到具有各种“奇特”现象的函数,这对在研究函数的可积性及积分理论出现了很多困难.比如(1)可积函数的连续性我们知道,函数的可积性等价于0lim1iniixw,它涉及分割子区间的长度及函数在其上的振幅两个因素,若上是成立即就是在分割加细时,其振幅不能缩小的那些相应项的子区间的长度之和可以很小,由以前知识,函数振幅的大小与其连续性有关,即函数的不连续点可用长度很小的区间包围,所以黎曼积分的理论基础是以“基本”连续的函数为对象的.⑵极限与积分交换次序问题在处理极限与积分交换次序问题中黎曼积分的数学期望不是很高.例1.1数学与统计学院2012届毕业论文41102,1121222102xnnnxnxaanxxnaxfnnnn0limxfnn,显然0lim10dxxfnn,而nadxxfnnnn2limlim10.当nan,时212limnann.此时,积分与极限不能交换次序,只有当na0时,即xfn一致收敛极限与积分才交换.引理1.11（有界收敛定理）设xfn,2,1n是定义在上ba,的可积函数.〈ⅰ〉︳xfn︳baxnM,,2,1;〈ⅱ〉xf是定义在上的可积函数且有xfxfnnlim.这里极限与积分交换次序不仅受到baxnMxfn,,2,1的限制,而且还必须假定极限函数的可积性.这说明黎曼积分的定义太窄了.以上例子可以看出黎曼积分虽然比较简单,但如果考虑可能在一个零测度集上不连续黎曼可积函数本来就自然的结果很难证明,甚至不成立,尤其是积分号下求极限黎曼可积函数类缺乏完备性.随着微积分学的发展,人们越来越感觉到它有很大的局限性,尤其是随着集合论的一系列工作的创始,出现一些病态函数,在研究它们的可积性时,黎曼积分迎来新的挑战.例1.2狄里克雷函数xD,由定义可证xD不是黎曼可积的,因此必须扩大积分范围.⑶关于微积分基本定理在微积分学基本定理afxfdxxfxa中xf必须是可积得,但我们知道存在可微且导数有界的函数,其导数不是黎曼可积的,因此限制了微积分基本定理的应用范围.随着数学的发展,人们发现很多问题在黎曼积分中都得不到圆满的解决,科学的不断前进,积分论再进一步革新,勒贝格在Borel测度思想的指导下,也吸收了Jordan和Peano的思想,建立了测度论,在可测集上定义了可测函数,并证明了在区间上的连续函数都是可测函数,利用黎曼积分对定义域的分割方法,考虑到间断点造成的困难,勒贝格大胆的改变了黎曼积分对定义域的分割方法,而采用对值域的分割,从而缩小振幅,消除了间断点的困难,数学与统计学院2012届毕业论文5在二十世纪提出了勒贝格积分,它为现代分析学打开了大门,勒贝格积分的提出是许多问题迎刃而解了.我们知道勒贝格积分是引入测度来推广长度,与黎曼积分比较,勒贝格积分虽然有很多优点,但任何一种理论都不是十全十美的,它也有缺点,比如在应用时测度比长度就要麻烦,反常积分是不存在的等等.2黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系2.1黎曼积分和勒贝格积分定义的比较定义2.1.13（黎曼积分和勒贝格积分的定义）黎曼积分的定义是从求曲线下方图形的面积入手的,其定义为:设xf在ba,上有界,对做分割bxxxaTn10,将区间分成n部分,在每个小区间1,iixx上任取一点i,,2,1i作和iiniixxfs11.称它为属于分割的黎曼和,令iinixxT11max,iiixxx1,当ixTmax→0时,若该式趋于有限极限,则称xf在ba,上可积记作dxxfIba.其精确的数学定义为3:设xf在ba,上的函数,J是一确定的数,若对任意的总存在0,使得ba,上的任意分割T以及任意选取的i,只要T时,属于T的积分和iiniixxfs11都满足Js,则称xf在ba,上可积,称J为则称xf在ba,上在上的定积分记作dxxfIba.黎曼积分的思想是“分割,求和,近似代替,取极限”,这里的分割是对定义域的分割,对黎曼积分还有另一种定义.数学与统计学院2012届毕业论文6定义2.1.2设xf在ba,上有界,对ba,做分割,bxxxaTn10,其中令iixxxfM,sup,iixxxfm,inf,iiixxx1,11iiniixxms11iiniixxMS,若有dxsdxSbaba则称xf在ba,上黎曼可积.定义2.1.31我们已知,测度是长度的推广,启发我们若要将黎曼积分推广可以考虑将区间推广到测度空间,对于被积函数按照黎曼积分的思想,必须