微积分8-2偏导数

一、偏导数的定义及其计算方法二、偏导数的几何意义及函数偏导数存在与函数连续的关系三、高阶偏导数第二节偏导数及其在经济分析中的应用五、小结思考题四、偏导数在经济分析中的应用交叉弹性下页返回上页定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数(partialderivative)，记为一、偏导数的定义及其计算法下页返回上页同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.下页返回上页如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.下页返回上页偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz下页返回上页注意：实际求的偏导数时，因为始终只有一个自变量在变动，另一个自变量可看作常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解.),(yxfz求解xf求导数暂时看作常量而对把xyyf求导数暂时看作常量而对把yx下页返回上页例1求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213下页返回上页例2设yxz)1,0(xx，求证zyzxxzyx2ln1.证xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立．下页返回上页例3设22arcsinyxxz，求xz，yz.解xzxyxxyxx2222211322222)(||yxyyyx.||22yxy|)|(2yy下页返回上页yzyyxxyxx222221132222)()(||yxxyyyxyyxx1sgn22)0(y00yxyz不存在．下页返回上页偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解xxfxx0|0|lim)0,0(00).0,0(yf下页返回上页二、偏导数的几何意义及函数偏导数存在与函数连续的关系偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.1．几何意义下页返回上页图示,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM下页返回上页2.偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，下页返回上页),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.三、高阶偏导数下页返回上页例5　设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx下页返回上页例6设byeuaxcos，求二阶偏导数.解,cosbyaexuax;sinbybeyuax,cos222byeaxuax,cos222byebyuax,sin2byabeyxuax.sin2byabexyuax下页返回上页定理如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？例7验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程.02222yuxu下页返回上页解),ln(21ln2222yxyx,22yxxxu,22yxyyu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu.0下页返回上页偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）五、小结偏导数在经济分析中的应用下页返回上页若函数),(yxf在点),(000yxP连续，能否断定),(yxf在点),(000yxP的偏导数必定存在？思考题下页返回上页思考题解答不能.,),(22yxyxf在)0,0(处连续,但)0,0()0,0(yxff不存在.例如,下页返回上页一、填空题:1、设yxztanln,则xz________;yz_________.2、设xzyxezxy则),(_______;yz________.3、设,zyxu则xu__________;yu__________;zu____________.4、设,arctanxyz则22xz________;22yz_______;yxz2____________.练习题下页返回上页5、设zyxu)(,则yzu2__________.二、求下列函数的偏导数:1、yxyz)1(；2、zyxu)arctan(.3.设xyz,求.,22222yxzyzxz和五、设)ln(xyxz,求yxz23和23yxz.下页返回上页一、1、yxyxyxy2csc2,2csc22；2、)1(2yxyexy,)1(2xxyexy；3、xxzxzyzyzyln1,1,xxzyzyln2；4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy；5、)ln1()(yxyzyyxz.二、1、xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12;练习题答案下页返回上页2、zzyxyxzxu21)(1)(,,)(1)(21zzyxyxzyuzyxyxyxzu2)(1)ln()(.三、4.四、,)1(,ln222222xxyxxyzyyxz)1ln(12yxyyxzx.五、223231,0yyxzyxz.