积分因子的求法及简单应用

1积分因子的求法及简单应用1.恰当微分方程的概念及判定1.1恰当微分方程的概念我们可以将一阶方程,dyfxydx写成微分形式,0fxydxdy或把x,y平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程,,0MxydxNxydy⑴这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x，y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分.即,,,uuMxydxNxydyduxydxdyxy则称方程⑴为恰当微分方程.11.2恰当微分方程的判定定理1假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x，y的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有MNyx.利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程.2.积分因子如果对于方程⑴在某矩形域内MNyx，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得2,,,,0uxyMxydxuxyNxydy为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴的1个积分因子.注可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.定理2函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是uuMNNMuxyyx3.积分因子求法举例3.1观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子如:⑴0ydxxdy有积分因子1xy⑵0ydxxdy有积分因子21x，21y，1xy，221xy，221xy例1找出微分方程110xyydxxyxdy的一个积分因子.解将原方程各项重新组合可以写成0ydxxdyxyydxxdy由于1xy是ydxxdy的积分因子，1xy也是ydxxdy的积分因子，从而原方程有积分因子21xy.观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出.3.2公式法引理1微分方程⑴存在形如：ux，uy，uxy，uxy，22uxy，3yux的积分因子的充要条件有：①方程⑴存在仅与x有关的积分因子的充要条件：1MNxNyx，x是仅与x有关的函数；②方程⑴存在仅与y有关的积分因子的充要条件：1MNyMyx，y是仅与y有关的函数；③方程⑴有形如uxy的积分因子的充要条件：MNyxxyNM，xy是仅与x+y有关的函数，MNyxxyNM，xy是仅与x-y有关的函数；④方程⑴有形如uxy的积分因子的充要条件：MNyxxyNyMx，xy是仅与xy有关的函数；⑤方程⑴有形如22uxy的积分因子的充要条件：2222MNyxxyNxMy，22xy是仅与22xy有关的函数，2222MNyxxyNxMy，22xy是仅与22xy有关的函数；⑥方程⑴有形如yux的积分因子的充要条件：4211MNyyxxNyMxx，yx是仅与yx有关的函数。若方程⑴中的M(x,y)，N(x,y)以及My，Nx的关系满足以上6个充要条件之一时，则方程⑴的积分因子u(x,y)都可由一阶线性齐次微分方程ln,duxyzdz求得（其中z是z的函数）.z可以取x，y，xy，xy，22xy，yx，由此可得zdzuze.我们将上述引理归结为求积分因子的公式法.例2求解微分方程23320xyydxxyxdy的积分因子.解由于2MNyx，,,2NxyyMxyxxy观察可得：1,,MNyxNxyyMxyxxy是关于xy的函数故原方程有积分因子：11,dxyxyuxyexy.3.3分组求积分因子法定理3若u为方程⑴的一个积分因子，且uMdxuNdydv，则uv也是方程⑴的积分因子，其中v是v的任一连续可微函数.也可以说微分方程11220MdxNdyMdxNdy1u是第一部分的积分因子，即11111uMdxuNdydu2u是第二部分的积分因子，即22222uMdxuNdydu从11u，22u中选择满足111222uuuu的11u和22u，其中11u，522u是分别关于1u，2u的连续可微函数，这样111uu是原方程的积分因子.例3求解微分方程32253370xyydxxxydy的积分因子.解将原方程各项重新组合23253370xydxxdyydxxydy121uxy是第一部分的积分因子2532153lnxydxxdydxyxy231uxy是第二部分的积分因子32373137lnydxxydydxyxy即5311uxy，3722uxy分别是第一、二部分的积分因子需满足53371122uxyuxy令53531xyxy，37372xyxy则52313173xyxy所以52313173，得到12故原微分方程的积分因子为1122,uxyxy.