微分方程公式运用表

微分方程公式运用表一、一阶微分方程判断特征：(,)dyfxydx类型一：()()dygxhydx（可分离变量的方程）解法（分离变量法）：()()dygxdxhy，然后两边同时积分。类型二：()()dyPxyQxdx（一阶线性方程）解法（常数变易法）：()()(())PxdxPxdxyeCQxedx类型三：(,)(,)dyfxyftxtydx（一阶齐次性方程）解法（换元法）：yux令类型一类型四：P()y=Q(x)yndyxdx（伯努利方程）解法（同除法）：1()()nndyyPxyQxdx类型二二、可降阶的高阶微分方程类型一：()()nyfx解法（多次积分法）：(1)()()nduuyfxfxdx令多次积分求类型二：''(,')yfxy解法：'(,)dppyfxpdx令一阶微分方程类型三：''(,')yfyy解法：'(,)dpdpdydppypfypdxdydxdy令类型二三、线性微分方程类型一：''()'()0yPxyQxy（二阶线性齐次微分方程）解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()yxyx则：1122()()()yxcyxcyx类型二：''()'()()yPxyQxyfx（二阶线性非齐次微分方程）解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()yxcyxcyx再找出非齐次方程的任意特解()pyx，则：1122()()()()pyxyxcyxcyx类型三：'''0ypyq（二阶线性常系数齐次微分方程）解法（特征方程法）：221,2402ppqpq（一）122121240xxpqycece（二）12120()xyccxe（三）12120,(cossin)xiiyecxcx类型四：'''()ypyqfx(二阶线性常系数非齐次微分方程)解法（待定系数法）：（1）()()xmfxPxe型：先找出对应齐次微分方程的通解3()yx0()()12kxpmkyxxeQxkk不是特征方程的根，是特征方程的单根，是特征方程的二重根，其中令1()mmmQxAxBx，将()pyx带入方程求出A,B,C3()()pyyxyx（2）()()cos()sinxmlfxePxxPxx型：先找出对应齐次微分方程的通解3()yxmax,()()()()cos()sin01kxnnpnnnmlQxRxyxxeQxxRxxikik与是待定的n次多项式若不是特征方程的根，若是特征方程的根,利用待定系数求出()pyx，则：3()()pyyxyx