微积分(第五章)多元函数微分学复习

多元函数微分学复习一、内容提要上页下页结束返回首页二、典型例题上页下页结束返回首页内容提要偏导数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0注:(1)0000(,)(,)xxxdfxyfxydx(2)0000(,)(,)yyydfxyfxydy(3)000000(,,)(,,)xxxdfxyzfxyzdx偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可上页下页结束返回首页内容提要全微分dyyzdxxzdz函数zf(x,y)在点(x,y)可微分:(,)(,)()xyzzxyxzxyyo22(()())xy•计算公式:重要关系函数可导函数可微偏导数连续函数连续上页下页结束返回首页内容提要复合函数求导公式设zf(u1,…,un)可微,ui(x,y,…)偏导数存在,则有11.nnuzzuzxuxux全微分形式不变性设zf(u,v)具有连续偏导数,则有全微分dvvzduuzdz无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它的全微分形式是一样的上页下页结束返回首页内容提要隐函数求导公式F(x,y)0确定yf(x)的导数公式yxFFdxdyF(x,y,z)0确定zf(x,y)的偏导数公式zxFFxz,zyFFyz上页下页结束返回首页内容提要曲线的切向量•光滑曲线xx(t),yy(t),zz(t)在tt0对应点处的切向量为000((),(),()).Txtytzt(,,)(,,).xyzxyzTFFFGGG•曲面F(x,y,z)0与曲面G(x,y,z)0的交线的切向量为曲面的法向量•曲面F(x,y,z)0在点M0(x0,y0,z0)处的法向量为0(,,)|xyzMnFFF•曲面zf(x,y)在点M0(x0,y0,z0)处的法向量为0(,,1)|xyMnff上页下页结束返回首页内容提要极值点的必要条件具有偏导数的极值点必为驻点极值的充分条件设f(x,y)具有二阶连续偏导数,(x0,y0)为f(x,y)的驻点,令fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C,则(1)ACB20时,f(x0,y0)为极值:当A0时为极大值,当A0时为极小值(2)ACB20时,f(x0,y0)不是极值(3)ACB20时,f(x0,y0)可能为极值,也可能不是极值上页下页结束返回首页内容提要可微函数最值的求法将函数在有界闭区域D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值•如果函数的最值一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么该驻点处的函数值就是函数在D上的最值拉格朗日乘数法函数uf(x,y,z)在条件j(x,y,z)0下的可能极值点为拉格朗日函数L(x,y,z,l)的驻点,其中(,,,)(,,)(,,).Lxyzfxyzxyzllj上页下页结束返回首页2(1)ln(2);zyxxy例1求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.解(1)2{(,)|0,20}Dxyyxxy2xy2yxxyO22(2)ln()4.zyxxy典型例题上页下页结束返回首页xyO22{(,)|0,0,40}Dxyyyxxyxy224xy2(1)ln(2);zyxxy例1求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.22(2)ln()4.zyxxy典型例题解(2)上页下页结束返回首页解(1)220(1cos)ln(1)(1)lim;(11)sinxyxyxyxyy例2求下列极限.2220()2lim2xyxyxyxyy220lim4xyx220(1cos)ln(1)lim(11)sinxyxyxyxyy2200(2)lim.xyxyxy(2)22||1,yxy00lim0xyx2200lim0xyxyxy上页下页结束返回首页分析:36200limxyxyxy例2证明极限不存在.当点(x,y)在直线ykx上时,有362xyxy362()xkxxkx242kxxk注:如果当P以两种不同方式趋于P0时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在0(0)x点(x,y)沿不同的直线ykx趋于点(0,0)时,函数都趋于0.若点(x,y)在曲线ykx3上,则362xyxy33632()xkxxkx21kk上页下页结束返回首页证明当点(x,y)在曲线ykx3上时,有362xyxy33632()xkxxkx21kk点(x,y)沿不同的曲线ykx3趋于点(0,0)时,函数趋于不同的值.注:如果当P以两种不同方式趋于P0时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在36200limxyxyxy因此,极限不存在.36200limxyxyxy例2证明极限不存在.上页下页结束返回首页知识点解1例22(,)(1)arctan,yfxyxyx求(2,1).xf1(,)2(1)()1xxyfxyxyyxx(2,1)4xf解22(,1),fxx2(,1)()2,xxfxxx(2,1)4.xf12(1)()2xxxyxyxyyx212(1)()2xxyxyxyyx上页下页结束返回首页证例3验证函数满足拉普拉斯(Laplace)方程arctanyzx22220.zzxy221()1()zyyxxx22yxy222222()zxyxxy2111()zyyxx22,xxy222222()zxyyxy22220zzxy知识点上页下页结束返回首页知识点解例3求函数的偏导数.(2)xyzxy2,,uxyvxy令则vzuzzuzvxuxvx11lnvvvuuuy1(2)[(2)ln(2)]xyyxyxxyxyzzuzvyuyvy12lnvvvuuux1(2)[2(2)ln(2)]xyxxyyxyxy上页下页结束返回首页知识点解例4设zf(2x3y,x2y)g(xy2),求2.zxy1212uuuzuuuffgxxxx122zxfyy2222xfxfyy22ygygy1211122[]uuffyy22xf1221222[]uuffyyxy2yg2()ugyy211126(26)fxxyf22xf3222xyf2yg32xyg记123,uxy22,uxy2uxy21222fxyfyg211122[3]fxf22xf221222[3]xyfxf32xyg2yg上页下页结束返回首页解例4设zf(2x3y,x2y)g(xy2),求2.zxy1212uuuzuuuffgxxxx122zxfyy2222xfxfyy22ygygy1211122[]uuffyy22xf1221222[]uuffyyxy2yg2()ugyy211126(26)fxxyf22xf3222xyf2yg32xyg记123,uxy22,uxy2uxy21222fxyfyg211122[3]fxf22xf221222[3]xyfxf32xyg2yg上页下页结束返回首页解例4设zf(2x3y,x2y)g(xy2),求2.zxy1212uuuzuuuffgxxxx122zxfyy2222xfxfyy22ygygy2yg211126(26)fxxyf22xf3222xyf2yg32xyg211122[3]fxf22xf221222[3]xyfxf32xyg21222fxyfyg上页下页结束返回首页例50,zexyz求2.zxy(,,),zFxyzexyz解设则xzFzxF,zyzexy2()()()()zyzzyzexyyzxexyyzez,xFyz,yFxzzzFexyyzFzyFzxzexy2zxy()zyzyexy22223()zzzzexyzxyzeexy知识点上页下页结束返回首页解设则2()()yyxzxzxzxzxz2zxy()zyzyexy注:本题利用ezxyz代入后,运算简便得多.()zyxzx2(1)yzxzzyzy3(1)zxyz(,,),zFxyzexyzxzFzxF,zyzexy,xFyz,yFxzzzFexyyzFzyFzxzexy例50,zexyz求2.zxy上页下页结束返回首页32(,,)331,Fxyzzzxy解1设则例532331,zzxy求dz和22.zy23,xFy6,yFxy233zFzxzFzxF22,1yzyzFzyF221xyzzzdzdxdyxy222211yxydxdyzz222222(1)2()(1)2yzxzxyzyzz2222232(1)8(1)xzxyzz知识点上页下页结束返回首页方程两边求微分得223336zdzdzydxxydy解2zy221xyz222211yxydzdxdyzz例532331,zzxy求dz和22.zy222222(1)2()(1)2yzxzxyzyzz2222232(1)8(1)xzxyzz知识点上页下页结束返回首页例6求曲线x2y2z26,xyz0在点(2,1,1)处的切线及法平面方程解所求切线方程为法平面方程为6(y1)6(z1)0,2226,Fxyz422111ijk(0,6,6)211066xyz即yz0.,Gxyz令则切向量(2,1,1)xyzxyzijkTFFFGGG知识点上页下页结束返回首页解代入椭球面方程,求得切平面方程为例7求椭球面x22y2z21上平行于平面xy2z0的切平面方程设所求切点为(a,b,c),法向量(,,)(2,4,2)(2,4,2)abcnxyzabc已知平面法向量1(1,1,2).n由题设1//,nn得242,112abc2,4abcb22.22b(2)()2(4)0xbybzb2110xyzb22202xyz即代入b的值,得知识点上页下页结束返回首页令2ln102(1)0xyfxyfxy得驻点),1,1((1,1),1,xxAfx2,xyBfy)1(2xfCyy在点(1,1)处,240,ACB)1,1(f不是极值；在点(1,1)处,240,ACB(1,1)f不是极值；在点处,)0,1(e