二重积分的计算小结

二重积分的计算小结一、知识要点回顾1．二重积分的定义；2.二重积分的几何意义及其物理模型。二重积分)(dyxf),(的几何意义就是以为底，以)(s为顶的曲顶柱体的体积，其物理模型就是一个曲顶柱体。3.二重积分在直角坐标系下的计算（1）若积分区域D是由两条直线x=a,x=b,以及两条曲线y=1(x),y=2(x)(1(x)2(x),axb)所围成，则dxdyy)f(xD)(,=badxdyy)f(xxx)(1,（2）若区域D是由两条直线y=c,y=d以及两条曲线x=1(y),x=2(y)(1(y)2(y),cyd)所围成，则Dy)dxdyf(x,dxy)f(xdydcyy,4.极坐标下二重积分的计算法x=cosr,y=sinr如果区域D是由从极点出发的两条射线，（）和两条曲线)(2),(1rrrr（)(1r)(2r）所围成，则drrd)rf(ry)dxdyf(xDDsin,cos,rdr)rf(rdrr)(2)(1sin,cos5．曲线坐标下二重积分的计算法设函数),(),,(vuyyvuxx在直角坐标平面vOu上的封闭区域D上连续，有一阶连续偏导数，而且雅克比行列式)()()()()()()()(),(),(vyuyvxuxvuyxJ则Dy)dxdyf(x,DdudvJvuyvuf(x)),(),,(二．二重积分的计算举例1.．计算二重积分dxdyyyDsin，其中D为由直线xy与曲线2yx所围成的区域．解：画出积分域如图所示解方程组2,xyxy解得图中的两个交点为)1,1(),0,0(，D可表示为D=},10|),{(2yxyyxy，于是.1sin1sinsinsin)(sinsin1010102102ydyyydydyyyyydxyydydxdyyyyyD2.计算二重积分dxdyD22yxyx22)sin(的值，其中积分区域为}41|){(22yxyx,D。图4解：由对称性可以只考虑第一象限的积分域采用极坐标。则积分区域变为0,21|){(,D}于是4)2(4)sin(4)sin()sin(2022122ddddddxdyDD22yxyx3，计算二重积分dxdyDxyxye的值的大小，其中D是由x轴，y轴以及x+y=2所围成的封闭区域。解：如图1，由题意，可设xyvxyu,则可得2uvx，2uvy图1;22;0;0vyxvuyvux由由由图2所以积分区域变为图2中的封闭区域，从而v)(uyx,J,)(所以Dxyo2yxDuvovuvu2v,2121212121eeeeeeevdvduvvvudvdvdudxdyxyxyDvuD1)12021202121(4．设其他当00,21,,2xyxyy)f(xx，求dxdyy)f(xD,，其中}2|),{(22xyxDyx。解：积分区域为圆122)1(yx以外的部分设图中阴影区域为D0=}2,21|),{(2xyxxyxx于是204912)45()()()]2([210,,,3521342212222122122002002xxxxxxxxxxxdxdxxdxxydyxdxdxdyydxdydxdyy)f(xdxdyy)f(xdxdyy)f(xxxDDDDDDD5．计算二次积分22222202020yRxRRyyxRydxedyedxedyeI．分析若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求2xe的原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．解由所给的二次积分，我们得积分区域21DDD，其中图61222,0,::220;0.RRyRyDDxyxRyD是一个中心角为4，半径为R的扇形（图5）．因此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有,:420.DR因此).1(821)42(2222220024)(RRRDDyxeededddedxdyeI小结㈠计算在直角坐标系下二重积分的值的过程中，应正确选择积分的形式，是先对X积分还是先对Y积分，选择正确的积分形式可以提高解题的效率和准确度。㈡计算极坐标系下二重积分值的步骤：①首先把积分区域的边界方程用极坐标表示；②确定,的范围，即在极坐标系下表示积分区域；③用sin,cos分别代换被积函数中的yx,，并把面积元素用dd替代．㈢计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性，同时被积函数关于某相应变量的奇偶性简化运算．．xOyR2RD1D2图5