对坐标曲面积分

第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲面积分第十章一、有向曲面及曲面元素的投影(一)曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)机动目录上页下页返回结束其方向用法向量指向表示.法向量(cos)(cos)(cos)0为前侧0为后侧封闭曲面0为右侧0为左侧0为上侧0为下侧外侧内侧侧的规定•指定了侧的曲面叫有(定)向曲面,机动目录上页下页返回结束(二)双侧曲面的定向注:对于非定向曲面在一点的法向量可以取两个方向(它们从X-轴来看有前后之分;Y-轴来看有左右之分;Z-轴来看有上下之分;xFyFzF故曲面的向从X-轴来看有前后之分;Y-轴来看有左右之分;Z-轴来看有上下之分;故但对于定向曲面只能其中一个方向.对于一个向量1:有(定)向曲面定义方向相反)•设为有向曲面,,)(yxSSyxS)(其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)(,)(机动目录上页下页返回结束2:有向曲面对坐标轴的投影注:由投影的定义有()cosxySdS()cosyzSdS类似的有()coszxSdS二、对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.S分析:若是面积为S的平面,则流量单位法向量:流速为常向量:nv机动目录上页下页返回结束对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”ni10lim0limni1iiiiPcos),,(iiiiRcos),,(0limni1iiiiQcos),,(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设,则机动目录上页下页返回结束设为光滑的有向曲面,在上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,ni1xziiiiSQ))(,,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场)),,,(),,,(),,,((zyxRzyxQzyxPA若对的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.机动目录上页下页返回结束zyPdd称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;yxRdd称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;若记正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS)),,(,),,(,),,((zyxRzyxQzyxPA则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动目录上页下页返回结束yxRxzQzyPddddddSnAdSAdzyPddyxRdd机动目录上页下页返回结束注：（１）由对坐标的曲面积分的定义可知道对坐标的曲面积分有其物理意义：yxRxzQzyPdddddd表示稳定流动的不可压缩流体的速度场为单位时间流过有向曲面的流量表示方向平行x－轴正向（即垂直YOZ面）流体单位时间流过有向曲面的流量．速度为表示方向平行z－轴正向（即垂直XOY面）速度为流体单位时间流过有向曲面的流量．表示方向平行y－轴正向（即垂直XOZ面）速度为流体单位时间流过有向曲面的流量．机动目录上页下页返回结束故计算yxRxzQzyPdddddd只需要分别计算zyPddyxRdd（３）注意和对面积曲面积分定义的异同．ddddddPyzQzxRxyzyPddddRxy(2)故3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用ˉ表示的反向曲面,则SAdiSAd机动目录上页下页返回结束(３)若曲面垂直于坐标面XOY(YOZ或XOZ）即投影为零则(dd0,dd0)PyzQzxdd0Rxy（４）线性性12[(,,)(,,)]ddkRxyzlRxyzxy例12(,,)(,,)]ddkRxyzdxdylRxyzxy注：不满足对称性三、对坐标的曲面积分的计算法定理:设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则yxzyxRdd),,(),,(yxDyxR),(yxzyxdd证:0limni1yxiS)(yxi)(∵取上侧,),(iiiz0limni1),,(iiRyxi)(yxx,yzyxRyxDdd))(,,(yxzyxRdd),,(机动目录上页下页返回结束•若则有zyzyxPdd),,(),(zy,PzyD),(zyxzydd•若则有xzzyxQdd),,()z,,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则yxzyxRdd),,(),,(yxDyxR),(yxzyxdd机动目录上页下页返回结束•计算((,),,)Pxyzyz),(zy,PzyD(,)xyz(前正后负)综上所述:机动目录上页下页返回结束yxRxzQzyPdddddd计算先分别计算zyPddyxRddzyPdd(1)将曲面投影到YOZ面为曲线而非区域，此时dd0Pyz），反映在方程上是根据曲面方程解出x,(2)将zyPdd转化二重积分积分区域为被积函数为看定向曲面是前侧还是后侧决定二重积分的符号zyPdd（只能投影到YOZ面，即使投影•计算((,),,)Pxyzyz(,(,),)xzDQxyxzz(右正左负)机动目录上页下页返回结束ddQzx(1)将曲面投影到XOZ面为曲线而非区域，此时dd0Qxz），反映在方程上是根据曲面方程解出y,(2)将ddQxz转化二重积分积分区域为被积函数为看定向曲面是右侧还是左侧决定二重积分的符号ddQxz（只能投影到XOZ面，即使投影•计算(,,,)Rxyzxy(,,(,))xyDRxyzxy(上正下负)机动目录上页下页返回结束ddRxy(1)将曲面投影到XOY面为曲线而非区域，此时dd0Rxy），反映在方程上是根据曲面方程解出z,(2)将ddRxy转化二重积分积分区域为被积函数为看定向曲面是上侧还是下侧决定二重积分的符号ddRxz（只能投影到XOY面，即使投影解:把分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz思考:下述解法是否正确:例１.计算曲面积分,ddyxxyz其中为球面2x外侧在第一和第八卦限部分.ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy机动目录上页下页返回结束分析：计算的是对x、y的曲面积分，则必须将曲面投影到XOY面。即解出z,得两个z即需要将曲面分成两块。yxDyxyxyxdd1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd)1(22yxyxDyxxydd221yxddrr机动目录上页下页返回结束Izdxdy解:机动目录上页下页返回结束例２计算其中由锥面及1z所围成的边界曲面的外侧1:1,,xyzxyD2Izdxdy12()zdxdyzdxdyxyD222:,,xyzxyxyD1zdxdyxyDdxdy2zdxdy22xyDxydxdy21200drdr23故3IzdxdyIxzdydzxydzdxyzdxdy解:机动目录上页下页返回结束例３计算其中是四面体边界曲面的外侧1y1xz112341:0,,xyzxyD12342:0,,yzxyzD3:0,,xzyxzD4:1,,xyxyzxyDxyDxy111xz11xzDz1yyzDIxzdydzxydzdxyzdxdy故1234()xzdydzxydzdxyzdxdy机动目录上页下页返回结束1y1xz11234xyDxy111xz11xzDz1yyzDxzdydz计算1234()xzdydz01100(1)zdzyzzdy124xydzdx1234()xydzdx000(1)DzxDxzxdzdxxxzdzdx11001(1)24xdxxxzdzyzdxdy1234()yzdxdy000(1)DxyDxyydxdyyxydxdy11001(1)24ydyyxydx故18I0Dyzzdydz(1)Dyzyzzdydz0例４.设S是球面的外侧,计算22ddcosSyzIxx解:利用轮换对称性,有2ddcosSxyIzz102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4zzyx2cosdd,cosdd22Szzyx2222222222dddd1cos11cos1xyxyDDxyxyxyxyxyxy20d2机动目录上页下页返回结束221:1,xyzxyxyD222:1,xyzxyxyD（朝上）（朝下）1222ddddcoscosSxyxyIzzzz221xy22222dd21cos1xyDxyxyxy（二）投影面的转换法计算对坐标的曲面积分若曲面是如下形式在计算时zyPddyxRdd是方便的。但计算则需要将曲面分别向另外坐标面投影。和我们将借助投影面的转换法避免另外的投影。１投影面的转换：()cosxydxdySdS()cosyzdydzSdS()coszxdxdzSdS已知(cos,cos,cos)2222221,,111xxxyxyxyzzzzzzzzcosdxdydSccososdxdyxzdxdyccososdxdyyzdxdy得由故２：公式ddddddPyzQzxRxy()ddxyRPzQzxy类似地若ddddddPyzQzxRxy()ddyzPPxRxyz若ddddddPyzQzxRxy()ddxzQPyRyxz例５.计算曲面积分其中解:2xzxxyDoyxz2(2)x(2)xzddzxy(2)dddd,zxyzzxy旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.机动目录上页下页返回结束(2)dddd,zxyzzxy2222(2)(2)()]xyDxxyxxydxdy2222(3)22()xyxyDDxydxdyxxydxdy2四、两类曲面积分的联系ni1zyiiiiSP))(,,(x