定积分计算技巧

11.定积分的几何意义例1.2202xxdx=_________．解法1由定积分的几何意义知，2202xxdx等于上半圆周22(1)1xy(0y)与x轴所围成的图形的面积．故2202xxdx=2．2.利用积分不等式例1.求sinlimnpnnxdxx,,pn为自然数．解法利用积分不等式因为sinsin1lnnpnpnpnnnxxnpdxdxdxxxxn,而limln0nnpn,所以sinlim0npnnxdxx．例2.求10lim1nnxdxx．解法因为01x，故有01nnxxx．于是可得110001nnxdxxdxx．又由于1010()1nxdxnn．因此10lim1nnxdxx=0．3.利用被积函数的奇偶性求定积分．例1.计算2112211xxdxx．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解2112211xxdxx=211112221111xxdxdxxx．由于22211xx是偶函数，而211xx是奇函数，有112011xdxx,于是22112211xxdxx=2102411xdxx=22120(11)4xxdxx=11200441dxxdx由定积分的几何意义可知12014xdx,故2111022444411xxdxdxx．例2.计算.解虽然在上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可以利用得原式.4.设f(x)为周期函数且连续，周期为T，则.事实上由于于是例1.设表示距离x最近整数的距离，计算解由且为周期函数，周期为1，于是5.利用积分中值定理例1.求sinlimnpnnxdxx,,pn为自然数．3解法利用积分中值定理设sin()xfxx,显然()fx在[,]nnp上连续,由积分中值定理得sinsinnpnxdxpx,[,]nnp,当n时,,而sin1,故sinsinlimlim0npnnxdxpx．例2.求10lim1nnxdxx．解法由积分中值定理()()()()bbaafxgxdxfgxdx可知101nxdxx=1011nxdx，01．又101limlim01nnnxdxn且11121，故10lim01nnxdxx．6.利用适当变量变换求定积分例1.设f(x)在[0，1]上连续，计算解设于是得例2.设函数f(x)在内满足且，计算解法一4解法二当时，于是例46设解原式7.利用定积分公式公式1：设f(x)在[0,1]上连续，则事实上移项两边同除以2得.公式2：记5于是由于递推公式每次降2次，要讨论n为奇偶数的情形，由公式3：证由，知的周期为，当然也是它的周期，利周期函数定积分的性质，有而由于2n是偶数，故公式4.证例54证明.证公式5设f(x)在[0,1]上连续，则.6证由是为周期的函数，当然也是以为周期的函数，知也是以为周期的函数，于是公式6证公式7.证例1.计算.解利用方法（7）得原式