向量的外积

设O为一根杠杆L的支点，有一力F作用于这杠杆上P点处．力F与OP的夹角为，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模||||||FOQMsin||||FOPM的方向垂直于OP与F所决定的平面,指向符合右手系.实例§1.4向量的外积LFPQO向量a与b的外积为bacsin||||||baba(其中为a与b的夹角)定义c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手规则.关于外积的说明：.0)1(aa)0sin0(向量积也称为“叉积”,“向量积”.abbac一向量外积的定义和性质)(,0ba,0||a,0||b,0sin,0或)(0sin.0sin||||||baba证ba//ba//或00baba)2(//.0ba)0,0(ba.0,)3(baba规定中有一个为零向量，则若外积符合下列运算规律：（1）反交换律.abba（3）分配律：().abcabac()()().ababab().abcacbcabbaabb（2）若为任意实数二用坐标计算向量的外积123;,,(,,)(,,)xyzxyzOeeeaaaabbbb空间中给定一个仿射标架｛｝,设向量,，则123123122331122331()()()()()xyzxyzxyyxyzzyzxxzxyyzzxxyyzzxabaeaeaebebebeababeeababeeababeeaaaaaaeeeeeebbbbbbba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx,kji,jik,ikj,kij.jki,ijk直角坐标系下外积的坐标表达式)()()()()()()()()(kkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibazzyzxzzyyyxyzxyxxxijkokjkiij外积的坐标表达式),,(xyyxzxxzyzzybababababababakbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积还可用三阶行列式表示),,(xyyxzxxzyzzyzyxzyxbababababababbbaaakjiba),,(xyyxzxxzyzzybababababababa外积模的几何意义||ba表示以a和b为邻边的平行四边形的面积.sin||||||baba例1求与kjia423，kjib2都垂直的单位向量.解zyxzyxbbbaaakjibac211423kji,510kj,55510||22c||cce.5152kj例2在顶点为)2,1,1(A、)2,6,5(B和)1,3,1(C的三角形中，求AC边上的高BD.ABC解D}3,4,0{AC}0,5,4{AB三角形ABC的面积为||21ABACS22216121521,225||AC,5)3(422||21BDS||AC||521225BD.5||BD例3设向量pnm,,两两垂直，符合右手规则，且4||m，2||n，3||p，计算pnm)(.解||||||sin(,)mnmnmn,8124(,)0mnppnm)(cos||||pnm.2438依题意知nm与p同向，例4已知BC是梯形ABCD的一腰，E是BC的中点。证明的面积是梯形面积的一半。AED)0(,,aCDbECBEaBA11||||,2211|||()()|||,22211|||()()|221(1)||,2ABECDEAEDSBABEabSCDCEababSEAEDabbaab,CDEABEAEDSSS.21ABCDAEDSS梯形ABDCEaab证明：设所以即二重外积公式,,()()()abcabcacbabc对任意向量有上式称为二重外积公式.