拉普拉斯积分变换

1§拉普拉斯(Laplace)积分变换21．拉氏变换的概念定义设函数)(tf当0t时有定义，而且积分ttfstde)(0（s是一个复参量）在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数ttfsFstde)()(0称为函数)(tf的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）记为)()(tfsFLF(s)称为)(tf的拉氏变换（或称为象函数）。一、拉氏变换3若F(s)是)(tf的拉氏变换，则称)(tf为F(s)的拉氏逆变换（或称为象原函数），记为)()(1sFtfL可以看出，)0()(ttf的拉氏变换，实际上就是ttutfe)()(的傅氏变换。4例1求单位阶跃函数0,10,0)(tttu的拉氏变换。解由拉氏变换的定义ttustde)(0L此积分在0)(sRe时收敛，且sstst-st1e1de00所以stu1)(L）（0)(sRe5例2求指数函数kttfe)(的拉氏变换（k为解tttftksstktdedee)(0)(0L积分在ks)(Re时收敛，且有ksttks1de0)(所以kskt1eL))(ks(Re实数）。62.拉氏变换的存在定理可以看出，拉氏变换存在的条件要比傅氏变换存在的条件弱得多。对于一个函数，满足什么条件时，它的拉氏变换一定存在呢？72当t时，)(tf的增长速度不超过某一指数函0c，使得tMetfct0,)(成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为它的增长指数）。拉氏变换的存在定理若函数)(tf满足下列条件：1在0t的任一有限区间上分段连续；数，亦即存在常数M0及8则)(tf的拉氏变换ttfsFstde)()(0在半平面cs)(Re上一定存在，右端的积分在ccs1)(Re上绝对收敛而且一致收敛，并且在cs)(Re的半平面内，)(sF为解析函数。9例3求正弦函数kttfsin)(（k为实数）的拉解tktktstdesinsinL022022)cossin(sekskktkktskst)0)(s(Re同样可得余弦函数的拉氏变换：22cosLksskt)0)(s(Re氏变换。10例6求单位脉冲函数)(t的拉氏变换。利用性质：)0(d)()(ftttf，有tttstde)()(0Lttstde)(01ede)(0tststtt解11例7求函数)0)((e)(e)(tuttftt的拉氏变换。ttftfstde)()(L0ttttstsdede)(00)()(ssssttts1ee0)(s0)(解ttutstttde)(e)(e0在实际工作中，求函数的拉氏变换可通过拉氏变换表查得。123．拉氏变换的性质为了叙述方便起见，假定要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件，并且把这些函数的增长指数都统一地取为c。以下均设)()]([),()(),()(2211sFtfLsFtfLsFtfL13a.线性性质若,是常数，则有.)(L)(L)()(L;)(L)(L)()(L21112112121sFsFtFsFtftftftf-根据定义，利用积分性质就可推出这个性质。此性质表明：函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。14b．微分性质)0()()(fssFtfL证由定义并利用分部积分法得)(Ltf0de)(ttfst)0()(ftfsL))(cs(Re这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s，再减去函数的初值。ttfstfststd)e(e)(0015推论:)0()0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstfL特别，当初值0)0()0()0()1(nfff时，有,),()(L),()(L2sFstfssFtf)()()(sFstfnnL此性质使我们有可能将)(tf的微分方程转化为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。))(cs(Re16例求函数kttfcos)(的拉氏变换。解由于ktktfffcos)(,0)0(,1)0(2由微分性质有)0()0()()(cos22fsftfstfktkLLL即sktsktkcoscos22LL移项化简得2coskssktL)0)(s(Re17例求函数mttf)(的拉氏变换，其中m是正整数解由于0)0()0()0()1(mfff而!)()(mtfm所以)0()0()()(!21)(fsfstfstfmmmmmLLL)0()1(mf18即mmtsmLL!而smmm!1!!LL所以!1mmsmtL)0)(s(Re由拉氏变换存在定理，可得到象函数的微分性质：csttfsF)(,)()(ReL一般地，有cstftsFnn)(,)()()()(ReL19例求函数ktttfsin)(的拉氏变换。解因为)sinL22kskkt根据象函数的微分性质22222)(2dd)sinLksksksksktt同理可得，2222222)(dd)cosLksksksssktt20c．积分性质)(1d)(L0sFsttft证设tttfth0d)()(，则有)()(tfth，且0)0(h由微分性质，有)()0()()(thshthsthLLL即)(1)(L1d)(L0sFstfsttft这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。21重复应用积分性质可得：)(1d)(dd000sFsttfttntntt次L此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数的积分性质：d)()(sssFttfL或1)d()(sssFttfL一般地，有d)(dd)(snssnssFssttf次L22例求函数tttfsinh)(的拉氏变换。解因为11sinh2stL据象函数的积分性质可知ssstttssd11dsinhsinh2LL11ln2111ln21sssss23其中)()(tfsFL这一公式，常用来计算某些积分。存在，在象函数的积分性质公式中取s=0，则有00)d(d)(ssFtttf如果积分0d)(tttf24例求积分0dsinttt解因为11sin2stL且00)d(d)(ssFtttf所以2arctand11dsin0020sssttt25d．位移性质若)()(sFtfL，则有))(()()(ecasasFtfatReL证ttfttftftasstatatde)(de)(e)(e0)(0L上式右方只是在)(sF中把s换成as，所以))(()()(ecasasFtfatReL这个性质表明：一个象原函数乘以指数函数eat的拉氏变换等于其象函数作位移a。26例求matteL解因为1)1(mmsmΓtL利用位移性质，可得1)()1(emmatasmΓtL27例求ktatsineL解因为22sinLkskkt由位移性质得22)(sineLkaskktat285.延迟性质若)()(sFtfL，又0t时0)(tf则对于任一非负实数τ有),(e)(LsFτtfsτ或)()(eL1τtfsFsτ证tτtfτtfstde)()(0Ltτtftτtfstτstde)(de)(029由于τt时，0)(τtf，所以上式右端第一个积分为零。对于第二个积分，令uτt，则uufτtfusde)()()(0Luufsusde)(e0))(()(ecssFsRe30函数)(τtf与f(t)相比，f(t)是从t=0开始有非零数值，而)(τtf是从τt开始才有非零数值，即延迟了一个时间τ。从它们的图象来讲，)(τtf的图象是由f(t)的图象沿t轴向右平移距离而得。τ象函数乘以指数因子se。这个性质表明，时间函数延迟的拉氏变换等于它的31例求函数τtτtτtu,1,0)(的拉氏变换。解由于stu1)(L根据延迟性质，有sτsτtue1)(L32二、拉氏逆变换在实际应用中常会碰到的问题是：已知象函数)(sF求它的象原函数f(t)。由拉氏变换的概念可知，函数的拉氏变换就是的傅氏变换。)(tfttutfe)()(33于是，当ttutfe)()(满足傅氏积分定理的条件时，按傅氏积分公式，在)(tf连续点处有:dedee)()(21e)()(jjtttττuτftutfde)(de210)j(jττft0,de)j(21jtFt34等式两边乘以，并考虑到它与积分变量无关，则te0,de)j(21)()j(tFtft令，有sj0,de)(j21)(jjstssFtft这就是从象函数F(s)求它的象原函数f(t)的一般公式，右端的积分称为拉氏反演积分。35此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s)为有理函数时更为简单。36定理若是函数的所有奇点（适当选取使这些奇点全在的范围内），且当时，，则有nsss,,21)(sF)(sRes0)(sFe)(Rede)(j211jjstnkssstsFsssFk即0,e)(Re)(1tsFstfstnkssk37例1：求1)(2sssF的逆变换。解:F(s)有两个一级极点j,j1sss由拉氏反演积分公式得j21e2e21L)(sstjsstsssssstf0,cos)ee(21jjtttt38例2：求2)1(1)(sssF的逆变换。解:s=0为一级极点，s=1为二级极点，拉氏反演积分公式得stssstsssssstfe)1(1)1(ddlime1431)(22102ststsstssstsse1elim1e1ddlim12110),1(e1)ee(1tttttt39例3：求)1(1)(2sssF的逆变换。解:利用部分分式的方法将F(s)化成1111)1(1)(22ssssssF所以)1(1L)(21sstfs1L1211Ls)1(1L1stet140卷积拉氏变换的卷积性质，不仅被用来求某些函数的逆变换及一些积分值，而且在线性系统的分