高数下册积分重点

微积分下册常见六种积分考试重点二重积分、三重积分第一型曲线积分、曲面积分第二型曲线积分、曲面积分二重积分二重积分奔驰详细整理不过略有不足，请大家指正，愿君考试愉快1二重积分/累次积分Ddyxf),(1）D在有界闭区域D上进行积分的积分符号；DOxy平面上的有界闭区域，积分区域；f(x,y)被积函数（其在D上连续才可积），比如可以是区域D的密度大小，也可以表示底面是D的曲顶柱体的高。2）dσOxy平面上微小区域面积，面积元素（d微分；σD中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。3）微小面质量=微小面密度×微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高×微小曲顶柱体底面长度；f(x,y)dσ微小面质量或者微小面积，被积表达式。4）dyxfD),(曲面D的质量，曲顶柱体面积。此处应注意：f(x,y)0时，二重积分积分的现实意义才成立。5）的面积。即为时，注意：当DDdyxfyxfD)(),(1),(6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分)()(21)()(212121),(),(,),()(),(),(),(,),()(),()1yxyxbaDxyxybaDdxyxfdydyxfbyayxxyxyxDdyyxfdxdyxfbxaxyyxyyxDdxdyd当当型域条件下，)()(2121)sin,cos()sin,cos(),(),()(),(,sincos)2xrxrDDrdrrrfddrrdrrfdyxfrrrrDryrxdrrddrrdd极坐标条件下，DDdudvJvuyvuxfdyxfvyuyvxuxvuyxJDDvuyyvuxxDdudvJd)),(),,((),(0),(),(,,),(),()3令对于区域换元条件下，三重积分dVzyxf),,(1）在有界闭区域Ω上进行积分的积分符号；ΩOxyz空间中的有界闭区域，积分区域，代表一几何体；f(x,y,z)被积函数（其在Ω上连续才可积），可以是区域Ω的密度大小。2）dVOxyz空间中微小区域体积，体积元素（d微分，VΩ中的微小几何体）。3）微小体质量=微小体密度×微小体积；f(x,y,z)dV微小体质量，被积表达式。4）dVzyxf),,(几何体Ω的质量。此处应注意：f(x,y,z)0时，三重积分积分的现实三重积分三重积分2意义才成立。5）的体积。即为时，注意：当)(),,(1),,(VdVzyxfzyxf6）三重积分的计算：化三重积分为三次积分公式应当做相应调整型域型域或者型域，若是是注：此处上的投影在是，其中）先一后二,),,(]),,([),,(),(),,(),(),,(1),(),(),(),(212121xzyzxydzzyxfdddzzyxfdVzyxfOxyDDyxyxzzyxzzyxyxzyxzDyxzyxzDxyxyxyxy。及公式应当做相应调整型域，型域或者型域，若是是另外，整。型域，公式应做相应调型域，若是是注：此处）三管齐下xyxyyxzyxzxyxybaxyxyDxzyzxyyxDdzzyxfdydxdVzyxfbxaxyyxyyxDDyxyxzzyxzzyx),(),()()(21212121),,(),,(),()(),(),(),,(),(),,(2公式应做相应调整取定，或者取定，另外，若对中已将注：所得区域的平面截闭区域是，其中）先二后一zzDbazzDyxzDdxdyzyxfdzdVzyxfzzDbzaDyxzyxz),,(),,(,),(),,(3),(),,(21),sin,cos(),,(,sincossincos,,])2,0[,0)(,,(),,()4220000202200zyxzyxfzdrdzrdzrrfdVzyxfdrdzrddVzzryrxyxxzryxzrrrxOxyMPzMrrzrzyxM可化成）其部分，（轴为旋转轴的旋转体或是以）（积分的最佳条件利用球面坐标计算三重令对于区域的平面，方程轴正向夹角为轴与代表过；方程轴为旋转轴轴的柱面，以代表半径为轴正向面上的投影，在是轴的距离，到代表点柱面坐标OP三重积分三重积分奔驰详细整理不过略有不足，请大家指正，愿君考试愉快3)(),,(21sin)cos,sinsin,cossin(),,(sinsin,cossinsincossinsincossincos,,,])2,0[],,0[,0)(,,(),,()5222220000022002022200zyxzyxfdrddrrrrfdVzyxfdrddrdrdrrddxdydzdVrzryrxyxxzyxxzrzyxrrrxOxyMPzrrrMzyxM可化成）分构成，（由球面或圆锥面或其部）（积分的最佳条件利用球面坐标计算三重令对于区域的平面，方程轴正向夹角为轴与代表过轴为轴的圆锥面，方程代表原点为顶点，程球心在原点的球面，方代表半径为轴正向面上的投影，在是，轴正向，球面坐标OPOMOMsin1000cossin0coscos)),,(),,,(),,,((),,(0),,(),,(,),,(),,(),,()62rJrzyxrrJzrzyxdudvdwJwvuzwvuywvuxfdVzyxfwzvzuzwyvyuywxvxuxwvuzyxJwvuzzwvuyywvuxxdudvdwJdV的函数，、、都是、、在球面坐标中，的函数，、、都是、、在柱面坐标中，常用范例。求三重积分是换元法的柱面坐标、球面坐标法法。用到求三重积分的换元注：极少数情况下，才，令对于区域换元条件下，第一型曲线积分第一型曲线积分奔驰详细整理不过略有不足，请大家指正，愿君考试愉快4第一型曲线积分LLdszyxfdsyxf),,(),(第一型曲线积分又叫作对弧长的曲线积分，或数量值函数的曲线积分1）L在线段L上进行积分的积分符号；L当被积函数是二元函数时，其是Oxy平面上一条光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz空间中一条光滑曲线；f(x,y,z)被积函数，一函数值，比如可以是线L的密度大小，也可以表示底边是L的曲边梯形的高。2）ds微小弧长（d微分；s微小线段，微小曲边梯形的底边长度）。3）微小线质量=微小线密度×微小线长度；微小曲边梯形面积=微小曲边梯形高×微小曲边梯形底边长度；f(x,y,z)ds微小线质量或者微小曲边梯形面积，被积表达式。4）dszyxfL),,(线质量，曲边梯形面积。此处应注意：f(x,y,z)0时，第一型曲线积分的现实意义才成立。5）的长度。即为时，注意：当LLsdszyxfzyxfL)(),,(1),,(6）第一型曲线积分计算公式dttytxdsyxfdttytxdsbattyytxxLxLdxydsyxfdxxydsbaxxxyyLdydxdsOxyLdttztytxdszyxfdttztytxdsbattzztyytxxLLdxxzxydszyxfdxxzxydsbaxxxzzxyyLdzdydxdsLbaLbaLbaLbaL)()(),()()(],[),(),(2)(1),()(1],,[),(1)()()(),,()()()(],[),()()(2)()(1),,()()(1],[)()(1222222222222222222222，则：）如果（，公式应做对应调整采用采用线的其他方程若则：）若（平面上的一条光滑曲线是，则若被积函数是二元函数，则，，：）如果（，公式应做对应调整采用采用线的其他方程若，则，，：）若（的方程应首先解出第一型曲线积分的计算第一型曲面积分第一型曲面积分奔驰详细整理不过略有不足，请大家指正，愿君考试愉快5第一型曲面积分dSzyxf),,(第一型曲面积分又叫作对面积的曲面积分，或数量值函数的曲面积分1)在有界光滑曲面Σ上进行积分的积分符号；Σ一空间有界光滑曲面；f(x,y,z)被积函数，一函数值，比如可以是曲面Σ的密度大小，也可以表示底面是Ω的曲面体的高（有限制）。2）dS微小曲面面积（d微分；S微小曲面）。3）微小曲面面质量=微小面密度×微小面积；微小曲面体面积=微小曲面体高×微小曲面体底面长度；f(x,y,z)ds微小体质量或者微小曲面体体积（有限制），被积表达式。4）dSzyxf),,(面质量，曲面体体积（有限制）。此处应注意：f(x,y,z)0时，第一型曲线积分的现实意义才成立，即使如此，其现实意义亦不明显。5）的面积。即为，时，注意：当)(),(1),,(SdSzyxfzyxf6）第一型曲面积分计算公式),(),(),(0),,()()()()()()()()()()(1)),(,,(),,(,),(),,(1cos111cos,)1,,(000222222zyxxzxyyyxzzzyxFpzznyymxxzzzyyzxxyzzyyyxxxzzxyyxxtzztyytxxDxzyzdxdyzzyxzyxfdSzyxfOxyDDyxyxzzdxdyzzdxdydSzzzzzdSxyDyxxyxyyxyxyx或或也可转化为空间面方程为种的形式后四种都可以化成第一或或或或空间中线方程为意，线是面的交集。程和面的方程。尤其注注：要弄清空间中线方及公式应做相应调整型，其投影域型或的方程是注：若上的投影域在是：若，则，轴正向，设其法向量是空间面积元第一型曲面积分中nn若计算中须带入线方程，带入的方程应按上线方程的前四种形式之一带入，若计算中须带入面方程，带入的方程应按上面方程的后三种种形式之一带入，至于带哪一种形式，须看哪一种形式利于解题。比如，若线方程可以化为圆的形式，则常常采用圆的参数形式带入。再如，平面A截柱面B得的面，其方程不是二者联立解得的方程，因为其相交的部分是线而不是面，解得的方程是交线的方程；显然B的方程不能作为截得的面的方程，因为二者公共部分是一条线，而A包含截得的面，因而截得的面的方程可以用A的方程表示。注：二重积分与第一型曲面积分只是在积分区域上有差别。二重积分，积分区域在Oxy面上，而第一型曲面积分积分区域在Oxyz空间中。第二型曲线积分第二型曲线积分奔驰详细整理不过略有不足，请大家指正，愿君考试愉快6第二型曲线积分dzzyxRdyzyxQdxzyxPdyyxQdxyxP),,(),,(),,(),(),(第二型曲线积分又叫作对坐标的曲线积分，或向量值函数的曲线积分1）在有向线段Γ上进行积分的积分符号；Γ当被积函数是二元函数时，其是Oxy平面上一条有向光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz空间中一条有向光滑曲线；P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)被积函数，力的三个分向值。2）微小功=力×微小线长度(ΓFdW)；P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz微小功。3）),,()),,(),,,(),,