微积分吴传生版高等数学课件

第七章向量代数现空间解析几何第一节空间直角坐标系xyz由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.•坐标原点•坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,o•坐标面面xoy面yoz1.空间直角坐标系的基本概念第一节空间直角坐标系Ⅶxyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ练习：在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,2,3),A(2,3,4),C(2,3,4),B(2,3,4),D(1,3,7),M(6,9,5),N(1,6,4),P(1,6,4),Pxyzo在直角坐标系下11坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组),,(zyx)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);rM坐标轴:坐标面:xyzo例1求点关于(1)面;(2)轴;(3)坐标原点;(4)点对称点的坐标.(1)(3)(4)(2)设对称点的坐标为设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点xyzo1MPNQR2M?21MMd在直角21NMM及直角PNM1中，使用勾股定理知,222212NMPNPMd2.空间两点间的距离,121xxPM,12yyPN,122zzNM22221NMPNPMd.21221221221zzyyxxMM空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为,),,(zyxM)0,0,0(OOMd.222zyxxyzo1MPNQR2M例1求证以)1,3,4(1M、)2,1,7(2M、)3,2,5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解221MM,14)12()31()47(222232MM,6)23()12()75(222213MM,6)31()23()54(22232MM,13MM原结论成立.例2设P在x轴上，它到)3,2,0(1P的距离为到点)1,1,0(2P的距离的两倍，求点P的坐标.解设P点坐标为),0,0,(x因为P在x轴上，1PP22232x,112x2PP22211x,22x1PP,22PP112x222x,1x所求点为).0,0,1(),0,0,1(ｎ维实空间niRxxxxRinn,,2,1,|),,,(21.2222211nnxyxyxyPQ两点和),,,(21nxxxP),,,(21nyyyQ的距离练习题1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,)3,2,1(A,)4,3,2(B,)4,3,2(C.)1,3,2(D解答A:Ⅳ;B:Ⅴ;C:Ⅷ;D:Ⅲ;E：Ⅱ；F：Ⅵ(2,3,1).E(1,2,3).F2(3,2,1)______________,___________________________________pxoyyozzoxxyz、点关于平面的对称点是，关于平面的对称点是关于平面的对称点是，关于轴的对称点是，关于轴的对称点是，关于轴的对称点是；2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2()1(zyx07262zyx化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4()1()2(zyx解:设轨迹上的动点为,),,(zyxM,BMAM则轨迹方程.3.曲面方程的概念定义1.0),,(zyxF如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).SzyxO故所求方程为例1.求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹MOxyz0M表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx例2.研究方程解:配方得5,)0,2,1(0M可见此方程表示一个球面说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为球心为一个球面,或点,或虚轨迹.空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组2SL0),,(zyxF0),,(zyxG1S例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.xzy1OC24.空间曲线方程的概念又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.zyxaC01111DzCyBxA若方程组中的两个曲面方程分别是两个不平行的平面方程，即这就是空间直线的一般方程，其图形为空间直线。作业：教材260页4，5，6