格林公式·曲线积分与路线的无关性

§3格林公式·曲线积分与路线的无关性在计算定积分时,牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系;本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.一、格林公式二、曲线积分与路线的无关性返回一、格林公式2112图LD与上述规定的方向相反的方向称.L为负方向,记为边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数),(),(yxQyxP及在D上具有一阶连续偏导数,则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)((1)其中L是D的取正向的边界曲线,公式(1)叫做格林公式.定理1}),()(),{(21bxaxyxyxD证明(1)若区域D既是X型又是Y型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.}),()(),{(21dycyxyyxDyxoabDcd)(1xy)(2xyABCE)(2yx)(1yxdxxQdydxdyxQyydcD)()(21dcdcdyyyQdyyyQ)),(()),((12CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(LdyyxQ),(同理可证LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yxDcCE)(1yxBA若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图,证明(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将D分成三个既是X型又是Y型的区域1D,2D,3D.321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32,1来说为正方向对DLLLGD3L2LFCE1LAB证明(3)若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE.则D的边界曲线由AB,2L,BA,AFC,CE,3L,EC及CGA构成.由(2)知DdxdyyPxQ)(CEAFCBALAB2{CGAECLQdyPdx)(}3LQdyPdx231))((LLLQdyPdx),(32,1来说为正方向对DLLL便于记忆形式:LDQdyPdxdxdyQPyx.格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.xyoL例1计算ABxdy,其中曲线AB是半径为r的圆在第一象限部分.解引入辅助曲线L,1.简化曲线积分应用ABDBOABOAL应用格林公式,xQP,0有LDxdydxdy,BOABOAxdyxdyxdy,0,0BOOAxdyxdy由于.412rdxdyxdyDAB例3计算Lyxydxxdy22,其中L为任一不包含原点的闭区域的边界线,L的方向为逆时针方向.由于022yx,记L所围成的闭区域为D,解令2222,yxxQyxyP,xyoLD由格林公式知Lyxydxxdy022故有yPyxxyxQ22222)(.格林公式:LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取,,xQyP得LDydxxdydxdy2闭区域D的面积LydxxdyA21.3.计算平面面积曲线AMO由函数],0[,axxaxy表示,例4计算抛物线)0()(2aaxyx与x轴所围成的面积.解ONA为直线0y.LydxxdyA21AMOONAydxxdyydxxdy2121)0,(aANMAMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210.61420adxxaaGyxo1LQdyPdx则称曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关,二、曲线积分与路径无关性2LQdyPdx1L2LBA如果在区域G内有否则与路径有关.区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD定理21.12设D是单连通闭区域.若函数(,),Pxy(,)Qxy在D内连续,且具有一阶连续偏导数,则以下四个条件两两等价:(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有dd0;LPxQyddLPxQy与路线无关,只与L的起点及终点有关;(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分ddPxQy(,)uxy(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有ddd;uPxQy(iv)在D内处处成立.PQyx(,)dd.ABuxyPxQy(1)开区域G是一个单连通域.(2)函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导数.两条件缺一不可有关定理的说明：ARB证(i)(ii)如图21-19,设(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有dd0;LPxQyddLPxQy与路线无关,只与L的起点及终点有关;(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分2119图BARS按段光滑曲线,由(i)可推得与为联结点A,B的任意两条ASBddddARBBSAPxQyPxQydd0,ARBSAPxQy所以dddd.ARBASBPxQyPxQy2119图BARSddddARBASBPxQyPxQyD内任意一点.由(ii),曲线积分ddABPxQy与路线的选择无关,故当(,)Bxy在D内变动时,其积分值是(,)Bxy的函数,即有(,)dd.ABuxyPxQy00(,)Axy(,)Bxy(ii)(iii)设为D内某一定点,为Ox2120图B0xADCxxx0yyy(,)(,)xuuxxyuxydddd.ACABPxQyPxQy因为在D内曲线积分与路线无关,所以dddddd.ACABBCPxQyPxQyPxQy因直线段BC平行于x轴,故d0y,从而由积分中取x充分小,使(,),CxxyD则函数(,)uxy对于x的偏增量(图21-20)Ox2120图B0xADCxxx0yyy值定理可得ddxBCuPxQy(,)d(,),xxxPtytPxxyx01.(,)Pxy其中根据在D上连续,于是有00limlim(,)(,).xxxuuPxxyPxyxx同理可证(,).uQxyy所以证得ddd.uPxQy(,),uxy(iii)(iv)设存在函数使得ddd,uPxQy因此(,)(,),(,)(,).xyPxyuxyQxyuxy于是由(,),(,),xyyxPQuxyuxyyxddPxQy(,)uxy(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有ddd;uPxQy(iv)在D内处处成立.PQyx因此(,)(,),(,)(,).xyPxyuxyQxyuxy于是由一点处都有(,)(,).xyyxPQuxyuxyyx即以及P,Q具有一阶连续偏导数,便可知道在D内每(,),(,),xyyxPQuxyuxyyxddPxQy(,)uxy(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有ddd;uPxQy(iv)在D内处处成立.PQyx(iv)(i)设L为D内任一按段光滑封闭曲线,记L所围的区域为.由于D为单连通区域,所以区域含在D内.应用格林公式及在D内恒有PQyx的条件,就得到ddd0.LQPPxQyxy(iv)在D内处处成立.PQyx(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有dd0;LPxQy例1计算Ldyyxdxxyx)()2(422.其中L为由点)0,0(O到点)1,1(B的曲线弧2sinxy.xxyxyyP2)2(2xyxxxQ2)(42解xQyP，原积分与路径无关故原式101042)1(dyydxx.1523例2设曲线积分Ldyxydxxy)(2与路径无关,其中具有连续的导数,且0)0(,计算)1,1()0,0(2)(dyxydxxy.积分与路径无关xQyP，解,2)(2xyxyyyP),()]([xyxyxxQ,),(2xyyxP),(),(xyyxQ由0)0(，知0c2)(xx.故)1,1()0,0(2)(dyxydxxy由xyxy2)(cxx2)(10100ydydx.21注若(,),(,)PxyQxy满足定理21.12的条件,则由上述证明可看到二元函数(,)(,)d(,)dABuxyPxyxQxyy00(,)(,)(,)d(,)dBxyAxyPxyxQxyy具有性质d(,)(,)d(,)d.uxyPxyxQxyy我们也称(,)uxy为ddPxQy的一个原函数.例5试应用曲线积分求(2sin)d(cos)dxyxxyy的原函数.解这里(,)2sin,(,)cos,PxyxyQxyxy在整个平面上成立cos.PQyyx由定理21.12,曲线积分(2sin)d(cos)dABxyxxyy只与起点A和终点B有关,而与路线的选择无关.00(,)2dcosdxyuxyxxxyyC2sin.xxyC为此,取(0,0),(,),OBxy取路线为图21-22中的折x2122图(,0)Cx(,)BxyOy线段于是有.OCB只与起点A和终点B有关,而与路线的选择无关.由定理21.12,曲线积分(2sin)d(cos)dABxyxxyy一、填空题:1、设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数),(,),(yxQyxP及在D上具有一阶连续偏导数,则有DdxdyyPxQ)(________________；2、设D为平面上的一个单连通域,函数),(,),(yxQyxP在D内有一阶连续偏导数,则LQdyPdx在D内与路径无关的充要条件是_______________在D内处处成立；练习题二、证明曲线积分)4,3()2,1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整个xoy面内与路径无关,并计算积分值.三、利用格林公式,计算下列曲线积分:1、Ldyyxdxyx)sin()(22其中L是在圆周22xxy上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；四、验证yxxdxxyyx23228()83(dyyey)12在整个xoy平面内是某一函数),(yxu的全微分,并求这样一个),(yxu.练习题答案一、1、LdyQPdx；2、xQyp.二、236.三、1、2sin4167；四、)(124),(223yyeyeyxyxyxu.四、小结1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用.——格林公式;LDQdyPdxdxdyyPxQ)(若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考题思考题解答oxyABCDEFG由两部分组成L外边界：内边界：BCDABEGFE