定积分

（习题课）定积分第五章badxxf)(一、定积分的概念iniixf)(lim101.定义3.几何意义2.可积的条件可积的前提下：badxxf)(1lim()ninibafnixn等份(必要条件、充分条件）()baAfxdx()TTsvtdt物理意义（）()0fx曲边梯形的面积变速直线运动的路程二、定积分的性质badxxf)(badttf)(baduuf)(（1）（4）性质（1）~（6）三、基本公式．(2)()0aafxdx．(3)()()baabfxdxfxdx()()xaxftdt)(xf在],[ba上连续()()xfx1.()()xadftdtfxdx，()()xadfxdxfxdx()(1)()xadftdtdx()(2)()[()]()bxdftdtfxxdx21()2211()(3)()[()]()[()]()xxdftdtfxxfxxdx[()]()fxx推广式2.(N—L公式)()()|()()bbaafxdxFxFbFa微积分基本公式其中()()Fxfx四、定积分的计算1.直接使用N-L公式2.换元积分法3.分部积分法dtttfdxxfba)()]([)(（换元必换限）bababaduvuvudv|（凑元不换限）02(),()()0()aaafxdxfxfxdxfx为偶函数则，为奇函数1.若在上连续，()[-,]fxaa0()[()()]aaafxdxfxfxdx244sin1xxdxe计算常用的结论：()fxT2.设是周期为的连续函数，0()()aTTafxdxfxdx则240sinxdx401(12)2cosxdx1843.2200cossinxdxxdxInnn1331242213421253nnnnnnnnnn，为偶数，为奇数nN（）五、反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分各类反常积分的定义，用定义判断其敛散性.两个重要的反常积分1p1p1q,,11,(1)ppa两类积分还可互相转化（收敛）（发散）（收敛）（发散）2201sin3.1.yxttdyedtdttdx求由所确定的隐函数对的导数P2435-201.sin,04xytdtx求函数当及x=时的导数。002.sincosttxuduyudu求由参数表达式，所确定的.dyxdx函数对的导数204.().xtxIxtedt当为何值时，有极值P2345-12.(1)3.(1)4.(4)10.(4)13.3).5)1.求极限11lim1nniinn解原式101xdx312021|3x（）22213（）iixbadxxf)(1lim()ninibafniniixf)(lim10ix原式i21xdx22213（）n等份另解P269.3.2.求极限22222lim().12nnnnnnnn解原式1limnn2111()niin12011dxx43.112limppppnnnP269.3.解原式1limnn1()npiin10pxdx11011pxp11pii22212limln(1)(1)(1)()(2004)nnnnnn等于(A)(B)(D)(C)212lnxdx解B21ln2xdx21)1ln(2dxx212)1(lndxxnnnnnn2)]1()21)(11ln[(lim原式)]1ln()21ln()11[ln(2limnnnnnnninnin1)1ln(2limninnni11)1ln(lim210)1ln(2dxx21ln2tdtxt121ln2xdxiix3.求lim(),()xaxaxftdtfxxa其中连续解()()lim1xaxaftdtxfx型”“004.P269.4.()lim()limxxaaxaxaxftdtxftdtxaxa()afa解2()()limxaxfxaxa原式由积分中值定理()())xaftdtfxaax（），（，lim()xaxflim()xaaflim()aaf()afa()FxFaFxfx（）-（），（）=求解“”型5.202(arctan)lim1xxtdtxP269.4.22022(arctan)(arctan)limlim11xxxtdtxxxx2()2241010,111pppdxpx设证明：7.P270.7.分析1111ppp101pxdx101pxdx（）1111ppxx下证：（）证明：1111ppxx（）1111ppxdxdxdxx111000（）101111ppdxpx即01sin0()()()200xxxfxxftdtxx，设，求，或解0x当时，-.在（，）内的表达式01sin2xtdt0x当时，0()()xxftdt0()()xftdtftdt1(52.244.11.)exPxx6.0x0()()xxftdt()0x1(1cos)2xx当时，01sin2tdt()Fx00x，1(1cos)02xx，1,x()[,],()0fxababfx设在上连续，在（）内可导，且，(,)()0abFx证明：在内有证21()[())()])xaFxfxxaftdtxa（（()0fx又，()[,]fxab在上单调减少，1()(),xaFxftdtxa7.（由积分中值定理）P244.12.21[()()]))fxfxaxa（（,ax其中，（）()()fxf(,)()0abFx故在内有思考：()()Fxf得()()Fxf由积分中值定理0×()0,lim()1,xfxfx设在[）上连续，且(),lim()xdyyfxyxdx满足在并求证0(),xxtyeeftdt证明：8.P244.14.0()()xxtxxyeeftdteefx0()()xxteeftdtfx()dyyfxdx0lim()lim()xxtxxyxeeftdt0()limxtxxeftdte0型()limxxxefxelim()1xfx()[,]fxab设在上连续，()().bbaafxdxfabxdx证明：证()abfudu()bafabxdxuabx令()bafudu()bafxdx()().bbaafxdxfabxdx故P255.2.9.1100(1)(1).mnnmxxdxxxdx证明：P255.2.提示：1tx令另证()()Fxfx设……()ft若是连续的奇函数，证明0()xftdt是偶函数，证ut令P255.6.10.()ft若是连续的偶函数，证明0()xftdt是奇函数，0)()xFxftdt记（0)()xFxftdt（-0()xfudu0()xftdt0))[()()]xFxFxftftdt（-（=()ft若是奇函数，))())xFxFxftdtFx0则（-（=22（))FxFx即（-（0()xftdt即是偶函数()ft若是偶函数，))0FxFx则（-（=0()xftdt即是奇函数另证))0FxFx证（-（=)+)0FxFx或（-（=上连续，证明：在设],[)(baxf．dtduufdttbtfbabata])([))((证．batdtbtf))((11.()()taFtfudu记batadtduuf])([)baFtdt（uvP27011.|)bbaatFttftdt（）（-)babFbaFatftdt（）（）（))bbaabftdttftdt（（()()[()]bbtaaaftbtdtfududt即．设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf．证明：1)(20dttfxx在)1,0(内有且仅有一个根．证，1)(2)(0dttfxxFx，又0)(2)(xfxF，1)(xf)(xF在]1,0[上单调增加，，又01)0(F10)(1)1(dttfF10)](1[dttf，0所以原方程在)1,0(内有且仅有一个根．令则)(xF在]1,0[上连续．所以方程0)(xF在)1,0(内至少有一个根．12.，上连续，且在设0)(],[)(xfbaxf内有且仅有一根．在方程；),(0)()2(2)()1(baxFxF证1(1)()()()Fxfxfx2．上连续，在],[)()2(baxFtdtfaFab)(1)(又，0，0)()(tdtfbFba()0(,)Fxab方程在内至少有一根，，又0)(xF上单调增加，在],[)(baxF内有且仅有一根．在故方程),(0)(baxF，证明：xaxbtfdtdttfxF)()()(由零点存在定理P27012.思考题()[0,1]fx设在上连续且单调减少，.)()()1,0(010adxxfadxxfa均有，则对任一证adxxf0)(xat10)(dttafa0101ax，，01axx，单调减少，又)(xf()()faxfx，100()()afxdxafaxdx从而．10)(dxxfa10()afaxdx13.证法二(用积分中值定理)01a当时,故所给不等式成立.()[0,1]fx设在上连续且单调减少，.)()()1,0(010adxxfadxxfa均有，则对任一13.2,1a（）()[0,1]fx设在上连续且单调减少，.)()()1,0(010adxxfadxxfa均有，则对任一证法三100()()aFafxdxafxdx记（），010FF（）=（）10()()Fafafxdx（）0()()fafx（积分中值定理）01x（0，）00Faax令（）得000;0,axFaaxFa当时，（）当时，（）001FxFF（）为最大值，（）=（）为最小值，(0,1)0aFa故当时，（）即原命题成立.0x0113.证法四()[,]fxab如果函数在闭区间上连续，14.,ab至少有一点[]内，使得()()()()bbaafxgxdxfgxdx证()0,gx不妨设且不恒为零，,ab故[]，使得（积分第一中值定理）P27014.()[,]gxab函数在上连续且不变号，证明：上连续，在],[)(baxf，与最小值上必有最大值在mMbaxf],[)(()mfxM即，()()()()mgxfxgxMgx故，()()())()bbbaaamgxdxgxgxdxMgxdx故()())()babagxgxdxmMgxdx故()())()()babagxgxdxfgxdx由介值定理15.求.},max{222dxxx解},max{)(2xxxf21210022dxxxdxdx