定积分中奇偶函数和周期函数处理方法

定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一)、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论1、若xf是奇函数（即xfxf），那么对于任意的常数a，在闭区间aa,上，0aadxxf。2、若xf是偶函数（即xfxf），那么对于任意的常数a，在闭区间aa,上aaadxxfdxxf02。3、若xf为奇函数时，xf在aa,的全体原函数均为偶函数；当xf为偶函数时，xf只有唯一原函数为奇函数即xdttf0.事实上：设Cdttfxdxfx0，其中C为任意常数。当xf为奇函数时，xdttf0为偶函数，任意常数C也是偶函数xf的全体原函数Cdttfx0为偶函数；当xf为偶函数时，xdttf0为奇函数，任意常数0C时为偶函数Cdttfx0既为非奇函数又为非偶函数，xf的原函数只有唯一的一个原函数即xdttf0是奇函数。4、若xf是以T为周期的函数（即xfxTf），且在闭区间T,0上连续可积，那么TaaTTTdxxfdxxfdxxf022。5、若xf是以T为周期的函数（即xfxTf），那么xdttf0以T为周期的充要条件是00Tdttf事实上：TxTxxTxxdttfdttfdttfdttfdttf0000，由此可得1xTxdttfdttf00Tdttf0。(二)、定积分中奇偶函数的处理方法1.直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间。2.拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算。3.拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设xfxfxp，xfxfxq，则2xqxpxf，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。(三)、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题。二、典型例题例1设xff在aa,上连续可积，证明：(1)若f为奇函数则0aadxxf(2)若f为偶函数，则aaadxxfdxxf02。证明：(1)因为xfxf，而aaaadxxfdxxfdxxf00aaaadxxfxdxfdxxfdxxf0000对前一项中令xt，则aaaadxxfdxxfdttfxdxf0000所以000aaaadxxfdxxfdxxf.(2)因为xfxf，而aaaadxxfdxxfdxxf00aaaadxxfxdxfdxxfdxxf0000，对前一项中令tx相似的有aaadxxfdttfxdxf000，所以aaadxxfdxxf02.例2设f在,上连续，且以T为周期，证TaaTTTdxxfdxxfdxxf022。证明：由TaaaTTaTdxxfdxxfdxxfdxxf00，在上式右端最后一2个积分中，令tTx则有000aTaTaadxxfdttfdttTfdxxf，即有TaaaTaTdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf0000，成立再证220TTTdxxfdxxf,因为TTTTdxxfdxxfdxxf2200对于TTdxxf2令Txt则TTTTdtTtfdxxf22，因为xfTxf所以有0202TTdxxfdtTtf，202220TTTTTTdxxfdxxfdxxfdxxf。例3求定积分dxxxxIcos2411。解：被积函数为偶函数，dxxxxdxxxxI10242411cos2cos1sin158201sin3151235xxx例4求定积分ndxxI0sin，其中n为自然数。解：注意到xsin是偶函数且以为周期，因此利用性质可以简化计算nxdxndxxndxxndxxndxxIn2sin2sin2sinsinsin20202200.例5]3[计算：20cossinxdxxmn（自然数n或m为奇数）。解：由周期函数积分性质得xdxxxdxxImnmnmncossincossin20,当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故0,mnI当m为奇数时(设2,1,0,12kkm…)时mnI,0sinsinsin1sin2xRxdxxn其中uR为u的某个多项式（不含常数项）因此0,mnI例6求定积分dxxxxx44231sin。3解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故01sin4423dxxxxx例7求定积分I=dxxxxx2225242cos。解：I=dxxxxdxxx2225222242cos42，因为2542cosxxx是奇函数，而2242xx是偶函数，所以I=2dxxxxdxxx202222022422042=28422202dxx例8求定积分I=dxxx3arctan3604。解：设3xt则I=dxxx3arctan3604=tdttarctan334因为xxxfarctan4是奇函数所以0I例9求定积分I=02cos1sindxxxx。解：令tx2，则dtdx，因为,0x，所以2,2t，dtttdttttdtttdttttI222022222222sin1cossin1cossin1cos2sin1cos24]sinarctan[sinsin11220202ttdt例10求定积分I=1122231)1ln(dxxxxx。分析：若此题采用常规求法，会发现过程相当复杂，但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出。原函数可以看做一个奇函数f(x)=3)1ln(22xxx和一个偶函数u(x)=3122xx之和。解：4I=1122231)1ln(dxxxxx=11223)1ln(dxxxx+dxxx112231=02dxxx102231=2dxx102)341(10]3arctan34[2xx3942例11求定积分I=21212)11lncos41(dxxxx。分析：如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到xxxf11lncos为奇函数在对称区间上积分为零，因此就可以简化积分，而241x在21,21上积分恰好是以原点为圆心，半径为21的上半圆周面积，s=2)21(21=8解：I=21212)11lncos41(dxxxx=dxx2121241dxxx212111lncos=dxx21212410=2dxx2121241=28=4例12设xf在aa,0a上连续，证明dxxfxfdxxfaaa][0，并由此计算44sin11dxx。解：若记xfxfxp，xfxfxq，显而易见xp为偶函数，xq为奇函数，而且2xqxpxf.所以有dxxfxfdxxpdxxqdxxpdxxfaaaaaaaa00][2121利用上述公式可得2][tan2sec2cos2]sin11sin11[sin11404024024440xxdxdxxdxxxdxx例13求定积分I=22)1ln(dxexx。分析：此题的积分区间2,2关于原点对称，从这一点性质中我们可以联想5到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数，我们可以将其凑成奇偶函数。按照上一题的结果我们可以知道][21xfxfxu为奇函数，而][21xfxfxw为偶函数解：2211ln]1ln1ln[21][21xexexexxfxfxuxxxdxxexdxxxexdxexIxxx222222222211ln]21211ln[1ln3821202102222xdxxdxx例14求定积分nndxxxI0sin其中Nn。分析：被积函数不是周期函数，无法直接用周期函数的定积分性质计算，采用分部积分比较繁琐，可以考虑还原。令txn则dtdxnnndttntndxxxI00sinsin0000sinsinsinsindxxnndxxxdttndtttnnn移向得：202022sinsin2nxdxndxxnIn所以2nIn例15求定积分20sindxxxIn。解：000sinsin2sin2dxxdxxxdxxxIn4222sincos2sinsin2000xxxxdxxdxx例16求定积分02222cossindxxbxadxI解：注意到被积函数是以为周期的偶函数，因此可用定积分中相应性质简化计算2022222222202222tantan2cossincossindxxabxddxxbxadxdxxbxadxIabxbaabxbaabxd020202tanarctan2tan1tan2例17求定积分22223cossinxdxxx。解：注意到是对称区间，函数可以应用定积分的奇偶性来计算6dxxxxdxxxdxxxdxxx20222222222322223sin1sin20cossincoscossin8sin2sin2204202xdxxdx例18证xf是以T为周期的周期函数，则TnTdxxfndxxf00。证明：因为1010nkTkkTnTdxxfdxxf故只需证明TTkkTdxxfdxxf01由题设可知kTxfxf现令kTtx，当kTx时，0t；当Tkx1时，Tt且dtdxTTTkkTdttfdtkTtfdxxf001所以有