定积分的背景——面积和路程问题

第四章定积分§1定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。xoy图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常称这样的平面图形为曲边梯形.)(xfyab由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形曲边梯形的定义问题1图中阴影部分是由抛物线，直线以及x轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积S.2xy1xxoy12xyxoy1分析首先，将区间[0，1]5等分，如图所示.1S图(1)中，所有小矩形的面积之和（记为S1)显然大于所求的曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩估计值，有44.02.0)18.06.04.02.0(222221S（1）xoy1图(2)中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1)显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足估计值，有1s24.02.0)8.06.04.02.00(222221s.（2）xoy1思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在误差，误差有多大呢？提示：二者之差为S1-s1=0.2如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2.（3）xoy1(4)为了减小误差，我们将区间[0，1]10等分，则所求面积的过剩估计值为385.01.0)12.01.0(2222S285.01.0)9.02.01.00(22222s不足估计值为二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.结论：区间分得越细，误差越小.当被分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积...通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.输入数字，点击确定.练一练：求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间[0，1]5等分来估计）解析把区间[0，1]5等分，以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足估计值和过剩估计值，如下：1s1S1s36.02.0)18.06.04.02.0(16.02.0)8.06.04.02.00(33333333331S1S1s估计误差不会超过-=0.2探究点3估计变速运动的路程已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？问题2想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度v（单位：m/s)是时间t的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.)50(2510)(2ttttv分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：s=25×5=125(m)但显然，这样的误差太大了.为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离.首先，将滑行的时间5s平均分成5份.我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似替代汽车在0～1s、1～2s、2～3s、3～4s、4～5s内的平均速度，求出滑行距离s1：)(551)4()3()2()1()0(1mvvvvvs由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽车在5s内滑行距离的过剩估计值.用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车在0～1s、1～2s、2～3s、3～4s、4～5s内的平均速度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值：)(301)5()4()3()2()1(1mvvvvvs1s不论用过剩估计值s1还是不足估计值表示s，误差都不超过：1s)(2511mss要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.1？为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小.比如，将滑行时间5s平均分成10份.用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2：)(125.485.0)]5.4()4()1()5.0()0([2mvvvvvs结论滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.)(625.355.0)5()2()5.1()1()5.0(2mvvvvvs)(5.12625.35125.4822mss汽车在5s内滑行距离的不足估计值：2s无论用s2还是表示汽车的滑行距离s，误差都不超过2s抽象概括前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步骤：分割区间过剩估计值不足估计值逼近所求路程所分区间长度趋于0估计值趋于所求值变式练习汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=-t2+2,（单位：km/h),那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s是多少？（将行驶的时间1h平均分成10份）解析分别用v(0)，v(0.1)，v(0.2)，…，v(0.9)近似替代汽车在0～0.1h，0.1～0.2h，…，0.8～0.9h，0.9～1h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的过剩估计值1S1S=[v(0)+v(0.1)+v(0.2)+…+v(0.9)]×0.1=1.715(km).分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，…v(1)近似替代汽车在0～0.1h，0.1～0.2h，…0.8～0.9h,0.9～1h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的不足估计值1s=[v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+…+v(1)]×0.1=1.615(km)1s无论用还是估计汽车行驶的路程s,估计误差都不会超过1.715-1.615=0.1（km）1S1s1.在“近似替代”中，函数f(x)在区间［xi,xi+1］上的近似值等于（）A.只能是区间的左端点的函数值f(xi)B.只能是区间的右端点的函数值f(xi+1)C.可以是区间内的任意一点的函数值f(ξi)（ξi∈［xi,xi+1］）D.以上答案均正确解析以直代曲，可以把区间［xi,xi+1］上的任意一点的函数值f(ξi)（ξi∈［xi,xi+1］）作为小矩形的高.C2.已知自由落体的运动速度v=gt，则估计在时间区间［0,6］内，将时间区间10等分时，物体下落的距离的估计值可以为（）A.14gB.15gC.16gD.17g解析由其过剩估计值与不足估计值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在［16.2g,19.8g］之间.D3.求曲线与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积时，把区间5等分，其估计误差不超过_____.解析分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：所以S-s=0.3.222222111s(11.21.8)0.21.02222111S(1.21.42)0.21.32222，，0.321yx24.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为v(t)=t+2，估计该物体在区间［0,2］内运动的路程.若将区间10等分，则其不足估计值为_____.解析：把区间［0,2］10等分，取小区间的左端点的函数值作为小区间的平均速度，可得不足估计值为：s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)×0.2=5.8.5.85.求由曲线y=1+x2与直线x=0,x=2，y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（将区间10等分）解析把区间［0,2］10等分，以每一个小区间的左、右端点的函数值作为小矩形的高，得到面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：s=［(1+02)+(1+0.22)+(1+0.42)+(1+0.62)+(1+0.82)+(1+1.02)+(1+1.22)+(1+1.42)+(1+1.62)+(1+1.82)］×0.2=4.28,S=［(1+0.22)+(1+0.42)+(1+0.62)+(1+0.82)+(1+1.02)+(1+1.22)+(1+1.42)+(1+1.62)+(1+1.82)+(1+2.02)］×0.2=5.08估计误差不会超过S-s=0.8.1.曲边梯形的定义：分割区间过剩估计值不足估计值逼近所求值2.求面积和路程问题的步骤：我们把由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形.回顾本节课你有什么收获？y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近如何求曲边梯形的面积小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。（1）分割（3）求面积的和把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积S的近似值。（4）取极限noxy⑵近似代替利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vvt，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤t≤b内所作的位移S．