第9章 重积分 第四节

第四节重积分的应用把定积分的元素法推广到重积分的应用中.一、曲面的面积设曲面S的方程为),(yxfz,xyDyx),(,xyD为曲面在xOy面上的投影区域,要求曲面S的面积A.sxyzoxyD的切平面，上过为)),(,,(yxfyxMS,dA截切平面面积为d),(yxMdAxyzso,dd面上的投影在为xOyA,cosddA,11cos22yxffd1d22yxffA切平面的法向为}1,,{yxff,曲面S的面积元素.dd)()(122yxAxyDyzxz所以若曲面的方程为：),(xzhy曲面面积公式为：.dd)()(122xzAzxDxyzy若曲面的方程为：),(zygx曲面面积公式为：;dd)()(122zyAyzDzxyx同理可得取上半球面方程为222yxaz,例1解求半径为a的球的表面积.它在xOy面上的投影区域为,}),({222ayxyxDxy，222yxaxzx，222yxayzyxyDyxyxzzAdd1222xyDyxyxaadd2222arrraa02220dd2.42a求球面2222azyx，含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.由对称性知14AA,1D：axyx22曲面方程222yxaz,解)0,(yx例2，222yxaxzx，222yxayzy所求面积为1dd4222Dyxyxaacos0220d1d42arrraa.4222aayxzzADyxdd14122求由曲面azyx22和222yxaz)0(a所围立体的表面积.解由,22222yxazazyx消去z,在xy平面上的投影域为,:222ayxDxy得由)(122yxaz,2axzx,2ayzy例3,441122222yxaazzyx知由222yxaz，2122yxzzyxyxaaSxyDdd441222故yxxyDdd2rrraadad410222022a.)15526(62a设xoy平面上有n个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别为nmmm,,,21．则该质点系的质心的坐标为二、质心1.平面薄片的质心，niiniiiymxmMMx11.11niiniiixmymMMy当薄片是均匀的，重心称为形心.,d1DxAx，DyAyd1,d),(1DyxxMx设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D,在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，则平面薄片的质心坐标为,d),(1DyxyMy其中物体的质量为DyxMd),(.其中DAd为区域D的面积.求位于两圆sin2和sin4之间的均匀薄片的质心.由对称性可知,0x,因此3737y,即所求质心坐标为)37,0(.例4解，34ADDyddsindsin4sin220ddsin04dsin356204dsin3112221433112，72.空间立体的质心设物体所占空间区域为Ω,体密度为),,(zyx,则其重心坐标),,(zyx为:vxVxd1,vyVyd1,vzVzd1,其中vVd为物体的体积.，vzyxxMxd),,(1，vzyxyMyd),,(1，vzyxzMzd),,(1其中物体的质量为.d),,(vzyxM若为均匀物体,则质心即为形心:求位于两球面4)2(222zyx，1)1(222zyx之间的均匀物体的质心.立体在yOz面上的投影如图,设质心坐标为),,(zyx,由对称性知0yx,用球面坐标计算,rrvzddcossinddcos4cos232020205dcossin120所以715z,得到质心坐标为)715,0,0(.yz24O例5解，328)12(3433V，20设xoy平面上有n个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别为nmmm,,,21．则该质点系对于x轴和y轴的转动惯量依次为三、物体的转动惯量1.平面薄片的转动惯量niiixymI12niiiyxmI12,d),(2DxyxyI.d),(2DyyxxI设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点),(yx处的面密度为),(yx,假定),(yx在D上连续,平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为a、b，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.解设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上，如图,baoyx对y轴的转动惯量为yxxIDydd2babyxxy0)1(02dd，ba3121同理：对y轴的转动惯量为yxyIDxdd2.1213ab例6设由xyln,0y及ex所围的均匀薄板(面密度等于1),求此薄片绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯量最小?设薄板绕直线tx旋转,则转动惯量为令0)1e(212)(2ttI,得惟一驻点)1e(412t,例7解DtxtId)()(2xytxxln02e1d)(de12dln)(xxtxe13)(dln31txx，91e92)1e(21322tt又02)(tI,所以)1e(412t为最小值点,即薄片绕直线)1e(412x旋转时转动惯量最小.事实上,薄片的质心横坐标恰为)1e(412x,Dxdxyxxln0e1dd)1e(412,DAdxyxln0e1dd1,所以)1e(412x.计算如下:令0)1e(212)(2ttI,得惟一驻点)1e(412t,设物体所占空间区域为Ω,体密度为),,(zyx,则物体对x轴、y轴和z轴的转动惯量xI、yI和zI分别为:vzyxzyIxd),,()(22,vzyxzxIyd),,()(22,vzyxyxIzd),,()(22注若转动轴换成一般直线l,则其中),,(zyxd是点),,(zyx到l的距离.2.空间立体的转动惯量vzyxzyxdIld),,(),,(2求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.其中334aM为球体的质量.例8解取球心为坐标原点,z轴与轴l重合,又设球半径为a,用球面坐标计算,vyxIzd)(22dddsinsin222rrrrraddsind042003551342a，Ma252证明：由ax,bx)(ba,)0()(xfy及x轴所围平面区域绕x轴旋转一周所形成的立体对x轴的转动惯量baxxfJ4d)(2(设体密度1).例9证设旋转体为Ω,则baxfzyzyzyxJ)(22222dd)(dbaxfrrx20)(03dddbaxfx204)d(d41.d)(24baxxf（对内层二重积分用极坐标计算）薄片对z轴上单位质点的引力设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，计算该平面薄片对位于z轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力)0(a.,},,{zyxFFFF,d)(),(23222DxayxyxxGF,d)(),(23222DyayxyxyGF.d)(),(23222DzayxyxGaF为引力常数G四、引力oyzxF求面密度为常量、半径为R的均匀圆形薄片：222Ryx，0z对位于z轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力．)0(a解由积分区域的对称性知,0yxFFd)(123222DzayxGaFoyzxF例10rrarGaRd)(1d0222023.)11(222aaRGa设立体的体密度为),,(zyx,),,(000zyxM为外的一单位质点,设对M的引力是},,{zyxFFFF,则:其中202020)()()(zzyyxxr,G为引力常数.，vzyxrxxGFxd),,(30，vzyxryyGFyd),,(30，vzyxrzzGFzd),,(30设半径为R的匀质球占有空间闭区域}),,({2222Rzyxzyx.求它对位于),0,0(0aM)(Ra处的单位质量的质点的引力.设球的密度为,由对称性可知,0yxFF.解例11vazyxazGFzd])([2/322222222/3222])([ddd)(zRyxRRazyxyxzazG2202/32220])([ddd)(zRRRazrrrzazG其中334RM为球的质量.2202/32220])([ddd)(zRRRazrrrzazGRRzaazRzaazGd)211)((222]2d)(12[222RRaazRazaRG)3222(223aRRRG23134aRG，2aMG练习：P116习题9-42.3.4.(1)(3)6.7.(1)(2)9.(2)10.12.14.