第2章-导热微分方程推导PPT

韩风双手机号：688152Email:[e-mail]第二章导热的基本定律及稳态导热§2-1导热的基本概念和定律§2-2导热微分方程§2-3一维稳态导热§2-4通过肋片的导热分析温度场t=f(x,y,z,τ)等温面与等温线tt-Δtt+Δt等温线疏密程度的物理意义温度梯度nntnntLimgradtn0gradtq热流密度矢量t+Δttt-Δt§2-1导热的基本概念和定律导热系数•影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等。gradtq•不同物质的导热性能不同：非金属金属气体液体固体§2-2导热微分方程式及定解条件确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务gradtq傅里叶定律确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:t=f(x,y,z,τ)W/(m·ºC)理论基础：傅里叶定律+热力学第一定律一、导热微分方程的推导定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。假设：(1)所研究的物体是各向同性的连续介质(2)热导率、比热容和密度均为已知(3)物体内具有内热源；强度qv[W/m3];内热源均匀分布；qv表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量导热体内取一微元体热力学第一定律：W=0,∴Q=ΔUQ：微元体与环境交换的热Ｕ：微元体热力学能（内能）的增量W：微元体与环境交换的功Ｕ=Q＋Wdτ时间内微元体中：[导入与导出净热量]+[内热源发热量]=[热力学能的增加][导入与导出净热量]Q=ΔUQ导入与导出净热量内热源发热量dτ时间内、沿x轴方向、经x+dx表面导出的热量：dQx+dx=qx+dxdydz∙dτ[J]dxxqqqxxdxxdτ时间内、沿x轴方向导入与导出微元体净热量：dτ时间内、沿x轴方向、经x表面导入的热量：dQx=qxdydz∙dτ[J][J]ddxdydzxqdQdQxdxxx1、导入与导出微元体的净热量dτ时间内、沿x轴方向导入与导出微元体净热量：dτ时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量：dτ时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量：ddxdydzxqdQdQxdxxxddxdydzyqdQdQydyyyddxdydzzqdQdQzdzzz[导入与导出净热量]:ddxdydzzqyqxqzyx)(]1[[J][J][J][J][导入与导出净热量]:傅里叶定律：xtqxytqyztqzddxdydzzqyqxqzyx)(]1[dxdydzdztzytyxtx)]()()([]1[[J][J][导入与导出净热量]+[内热源发热量]=[热力学能的增加]2、微元体内热源的发热量ddxdydzqv]2[d时间内微元体中内热源的发热量：[J]3、微元体热力学能的增量dτ时间内微元体中热力学能的增量：dtcdxdydzmcdt]3[ddxdydztc]3[[导入与导出净热量][内热源发热量][热力学能的增加][1]+[2]=[3][导入与导出净热量]+[内热源发热量]=[热力学能的增加]ddxdydzqv]2[ddxdydztc]3[()()()vttttcqxxyyzz由[1]+[2]=[3]：dxdydzdztzytyxtx)]()()([]1[笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。()()()vttttcqxxyyzz非稳态项源项扩散项导热微分方程式简化该式：①若物性参数λ、c和ρ均为常数：式中，-热扩散率，m2/s.)/(ca()()()vttttcqxxyyzzcqtatv2cqztytxtatv)(222222或（Thermaldiffusivity）∇2—拉普拉斯算子•热扩散率a反映了导热过程中材料的导热能力（λ）与沿途物质储热能力（ρc）之间的关系。•在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。a木材=1.5×10−7m2/s,a铝=9.45×10−5m2/s，a铝/a木材≈600a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量•热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力。)/(ca②若物性参数均为常数，且无内热源222222()ttttaxyztat2或()()()vttttcqxxyyzz简化该式：③若物性参数均为常数，且无内热源，稳态导热①若物性参数λ、c和ρ均为常数：cqtatv2cqztytxtatv)(222222或2222220tttxyz02t或二、其他坐标下的导热微分方程（r,ϕ,z）x=rcosϕ;y=rsinϕ;z=z)1(kztjtrirttgradtqvqztztrrtrrrtc)()(1)(121.对于圆柱坐标系2.对于球坐标系（r,θ,ϕ）x=rsinθ⋅cosϕ;y=rsinθ⋅sinϕ;z=rcosθ)sin11(ktrjtrirttgradtqvqtrtrrtrrrtc)(sin1)sin(sin1)(122222三、导热微分方程的适用范围1）适用于q不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。2）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。3）若属极低温度（-273℃）时的导热不适用。四、导热过程的单值性条件单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件，包括四项：几何、物理、初始、边界完整数学描述：导热微分方程+单值性条件导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+热力学第一定律•它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；•它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。•对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明条件的唯一解