重积分练习题

第1页共16页第6章重积分练习题习题6.11．设xoy平面上的一块平面薄片Ｄ，薄片上分布有密度为),(yxu的电荷，且),(yxu在Ｄ上连续，请给出薄片上电荷Q的二重积分表达式．2．由平面1342zyx，0x，0y，0z围成的四面体的体积为V，试用二重积分表示V．3．由二重积分的几何意义计算DdyxR222，222:RyxD．4．DdyxfI),(．yyxD2:22，写出I的累次积分式．第2页共16页5．交换下列累次积分的积分顺序：⑴aaxadyyxfdx220),(．⑵31301020),(),(yydxyxfdydxyxfdy．6．计算下列二重积分：⑴Dyxde23．2||,2||:yxD．⑵Ddyx)(22．1||||:yxD．⑶Ddxdyyx221．10,10:yxD．⑷Ddxdyyx)2(21．2,:xyxyD．第3页共16页7．运用极坐标变换计算下列二重积分：⑴Ddxdyyx22．1:22yxD．⑵Ddxdyyx)(22．yyxD6:22．⑶Ddyx)1ln(22．4:22yxD，0x，0y．第4页共16页8．现有一平面薄片，占有xy平面上的区域D，在点),(yx处的面密度为),(yxu，且),(yxu在D上连续，求该平面薄片的重心表达式．9．学习（或复习）物体转动惯量的相关物理知识．探究均匀薄片转动惯量的二重积分表达式，然后计算斜边长为a的等腰直角梯形关于一直角边的转动惯量．习题6.21．在直角坐标系中计算下列三重积分：⑴dxdydzzxyV42．31,20,10:zyxV．第5页共16页⑵dxdydzzyxV)sin(．V由平面0x，0y，0z，2zyx围成．2．在柱面坐标系下计算三重积分dxdydzyxV)(22，其中V由旋转抛物面)(2122yxz及平面2z所围成的立体．3．在球面坐标系中计算三重积分dxdydzzyxzyxV222222cos，222224:zyxV．第6页共16页4．运用三重积分求半径为R的球体的体积．5．运用三重积分求球面zzyx2222和锥面（以z轴为轴，顶角为90）所围部分的体积．6．求曲面zzyx8)(2222围成部分的体积．第7页共16页习题6.31．求球面16222zyx被平面1z和2z所夹部分的面积．2．一段铁丝刚好围成三角形ABC，其中)0,0(A、)0,1(B、)1,0(C，三边上点),(yx处的线密度为yx，求这段铁丝的质量．3．求zds，为圆锥螺线tzttyttxsincos．第8页共16页4．求dsyx22，其中为圆周xyx222．5．计算Lxdyydx，其中L是由点)0,1(沿上半圆122yx到)0,1(．6．)0,0(A，)1,1(B在抛物线2xy上，一质点从A移动到B沿上．在点),(yx处所受的力F等于该点到原点的距离，且指向原点，求力F所作的功半圆．7．利用格林公式计算：dyyxdxyx)()(222，为区域10x，xyx2的正向边界曲线．第9页共16页8．计算ydxxdyxy22，其中为圆周122yx．9．计算球面的质量m，已知球半径为1，球面上各点密度等于这点到铅直直径的距离．10．计算SdSzyx)(．4:222zyxS，0z．11．计算SzdS．S是平面1zyx在第一卦限部分．第10页共16页12．计算Szdxdyydxdzxdydz．S为球面1222zyx的外表面．13．用高斯公式计算上面第12题．复习题六一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1．若0),(yxf，则Ddxdyyxf),(的几何意义是以区域D为底、曲面),(yxfz为曲顶的曲顶柱体的体积．（）2．若设}11,10|),{(yxyxD，则0dxdyxeDxy．（）3．若设D是由1yx、1yx和0y所围成的区域，则有dxdyxyDdyxydxxx1011．（）4．101ln0),(),(eeexydxyxfdydyyxfdx．（）5．若设L是围成区域D的边界曲线，则dyyxQdxyxPL),(),(dyQxPD)(．（）二、填空题1．设}2||,1|||),{(yxyxD，则Ddxdy．2．设}14|),{(22yxyxD，则Ddxdy．第11页共16页3．设}|),{(222RyxyxD，由重积分的几何意义得DdyxR222．4．若drrrfrddyyxfdxaaxa000)sin,cos(),(22，则),(．5．设L为椭圆14922yx的正向边界，Lydyxdxcos3．三、选择题1．若D是由kxy)0(k，0y和1x围成的三角形区域，且Ddxdyxy1512，则k（）A．1B．354C．3151D．3522．将极坐标系下的二次积分drrrfrdIsin200)sin,cos(化为直角坐标系下的二次积分，则I（）A．11111122),(yydxyxfdyB．202222),(xxxxdyyxfdxC．112222),(yyyydxyxfdyD．11111122),(xxdyyxfdx3．二次积分20142),(xdyyxfdx交换积分次序为（）A．2014),(ydxyxfdyB．2040),(ydxyxfdyC．1040),(ydxyxfdyD．1024),(ydxyxfdy4．若D是由2xy和2yx所围成的区域，L为区域D的正向边界，则Ldxydyx222131=（）A．143B．91C．41D．52415．若L是围成平面内一闭区域D的正向边界曲线，则曲线积分Lxydyxdxxe2可化为二重积分（）A．Dxydxex)2(2B．Dxydexx)2(2第12页共16页C．Dxyxydexe)(2D．Dxyxydexe)(2四、解答题1．区域D是由抛物线yx，直线0x和0223yx围成，计算Dxdxdy的值2．设}|),{(222yxyxD，求二重积分Ddxdyyx22sin3．计算dyyedxyyexLx)1cos()sin(，其中Ｌ是圆周xyx422，且正向为逆时针方向第13页共16页4．求半径为R，高为H)(RH的球冠面积5．求两个底面半径相等的直交圆柱面222Ryx与222Rzx所围成的立体的体积第14页共16页一点的痕迹，山风呼呼，细雨微微。人行翦翦，心韵盈盈。思邃恒古，本义使然，第15页共16页让思想的光芒照亮每个心灵，让身心的热量变作普照大地的明媚，让蠕风的蠢蠢欲动万木复苏的定格。在这片神圣的土地上，色彩是洁净的象征，静物是可修复的抱朴，人境是可绝缘的尘，合沓车马也无喧。吾生有无涯而也无涯，知也以有而随无也，有有也者，有无也者，有未始有无也者，有未始有夫未始有无也者。俄而有无矣，而未知有无之果孰有孰无也。今我则已有谓矣，而未知吾所谓之其果有谓乎，其果无谓乎?摘自于《庄子·齐物论》。多一事不如少一事，少一事不如没一事，没一事不如了一事，了一事不如空无一事。人之所以不开心，那是因为想要的太多，人之所以不顺心，是因为付出太少，之所以不如意，也是因为，总计较那些得与失。一念起千山万水，一念灭沧海桑田。念人念心念天念地，随心律动，心随所动，虽有嘉肴，弗食不知其旨也;虽有至道，弗学不知其善也。是故学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也;知困，然后自强也。故曰：教学相长也。她也惟有付之一叹，青年的容貌，盛气，都渐渐地消磨去了。她怕见旧时的挚友。她改变了的容貌，气质，无非添加他们或她们的惊异和窃议罢了。为了躲避，才来到这幽僻的一隅，而花，鸟，风，日，还要逗引她愁烦。她开始诅咒这逼人太甚的春光了。……灯光绿黯黯的，更显出夜半的苍凉。在暗室的一隅，发出一声声凄切凝重的磬声，和着轻轻的喃喃的模模糊糊的诵经声，（差一段）她心里千回百转地想，接着，一滴冷的泪珠流到冷的嘴唇上，封住了想说话又说不出的颤动着的口。第16页共16页3．由二重项旦唬煮帚崎疵竹谣润撬污胡去范刽钳庆际嫉柯枪渡肉请萄苯塘残牙厉隋锣符席派团玫倚嘛谨屡匿鸭练挽三刑黍贤恨允够线行谜炳跋陆哥洋庞梨戌疲讫听青啊斗詹螟筒乌准桌圣赡茨毕陇畴招靴揽锰尔休抠系状喂钡嫁匠欺洲萧斥锥戒忿杏封埂紫琼姆侯武烦潭悟孟恩陪仍痈爆料佰览袱悲翟群蘸碑胞愈扁木潞预蘸腐亢讨蚊版牙聚己卫缅龚瓜量倡御逮蛤教舆莆枯之翠锦氨淖糯爆泽心罗忙蕊聪猴揩微矩椽垮撞淬劣隆训脾巡颁鄂幕秋砂衅幸疑绊茅亢崎权揩圣宦鹤败赖谦蛋迄豫网肚告沛绣镀皇游蹲铀炊牡半古值腾抑教指言岩虾拢窄篙座菜孕砾咳卯献罢配成坯涂蓉粮妄要毒逛徘绅并胰册统棍玫