三重积分概念及其计算

§5三重积分教学目的掌握三重积分的定义和性质．教学内容三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换．基本要求掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法．教学建议(1)要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较．(2)对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题．一、三重积分的概念背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．定义1设zyxf,,是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于V的任何分割T，当它的细度T时，属于T的所有积分和都有JfNiiiii1),,(,则称zyxf,,在V上可积，数J称为函数zyxf,,在V上的三重积分，记作J=Vdvdydzzyxf,,，其中zyxf,,称为三重积分的被积函数，zyx,,称为积分变量，称为V积分区域．可积函数类（ⅰ）有界闭区域V上的连续函数必可积.（ⅱ）有界闭区域V上的有界函数zyxf,,的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则zyxf,,必在V上可积.二、化三重积分为累次积分定理21.15若函数zyxf,,在长方体V=fedcba,,,上的三重积分存在，且对任何xba,，二重积分xI=dydzzyxfD,,存在，其中D=fedc,,，则积分badxDdzyxf,,也存在，且Vdxdydzzyxf,,=badxDdzyxf,,.(1)为了方便有时也可采用其他的计算顺序．若简单区域V由集合bxaxyyxyyxzzyxzzyxV,,,,,,2121所确定，V在xy平面上的投影区域为D=bxaxyyxyyx,,21是一个x型区域，设zyxf,,在上连续，yxz,1，yxz,2在D上连续，xy1，xy2上ba,连续，则Vdxdydzzyxf,,=Dzyxzdzzyxfdxdy21,,,=baxyxyzyxzdzzyxfdydx2121,,,，其他简单区域类似．一般区域V上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算．例1计算Vdxdydzyx221，其中V为由平面xyzxx,0,2,1,yz所围的区域.例2求Vdxdydzczbyax222222，其中V为2222221xyzabc.例3改变下列累次积分顺序11000(,,)xxydxdyfxyzdz三、三重积分换元法设变换T：wvuxx,,，wvuyy,,，wvuzz,,把uvw空间中的区域V一对一地映成xyz空间中的区域V，并设函数wvuxx,,，wvuyy,,，wvuzz,,及它的偏导数在区域V内连续且行列式wvuJ,,=xxxuvwyyyuvwzzzuvw0,wvu,,V,则Vdxdydzzyxf,,=VdudvdwwvuJwvuzwvuywvuxf,,,,,,,,,,，（4）其中zyxf,,在V上可积．（一）、柱面坐标变换：如下图所示变换T：zzzrytrx,20,sin0,cos，zrJ,=1000cossin0sincosrr=r，按（4）式Vdxdydzzyxf,,=Vdzrdrdzrrf,sin,cos，这里V为V在柱面坐标变换下的原象．在柱面坐标中：r=常数，是以z轴为中心轴的圆柱面；=常数，是过z轴的半平面；z=常数，是垂直于z轴的平面．若V在平面上的投影区域D，即V=Dyxyxzzyxzzyx,,,,,,21时Vdxdydzzyxf,,=dzzyxfdxdyDyxzyxz,,21,,，其中二重积分部分应用极坐标计算．例4计算Vdxdydzyx22，其中V是由曲面zyx222与4z为界面的区域．例5计算,VzdxdydzV由2224xyz和抛物面223xyz围成。例6计算22,VxydxdydzV由222xyz和1z围成。（二）、球坐标变换变换T：0,cos20,sinsin0,cossinrzrytrx，,,rJ=0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossinrrrrr=sin2r，变换公式为：Vdxdydzzyxf,,=ddrdrrrrfVsincos,sinsin,cossin2在球面坐标中：r=常数，是以原点为中心的球面=常数，是过z轴的半平面．=常数，是以原点为顶点，以z轴为中心轴的圆锥面．当,,,,,2121rrrrV时,Vdxdydzzyxf,,=drrrrrfddrrsincos,sinsin,cossin2,,212121.例7求由圆锥体cot22yxz和球体2222aazyx所确定的立体体积，其中2,0和0a为常数．解球面方程2222aazyx在球坐标系下表示为cos2ar，圆锥面cot22yxz在球坐标系下表示为，20,0,cos20,,arrVVdv=0cos20220sinadrrdd=43cos134a.例8计算222(),VxyzdxdydzV：2222xyzz例9求I=Vzdxdydz，其中V为由1222222czbyax与0z所围区域．